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两类连续和离散动力系统的分支和混沌

蔡美香  
【摘要】: 本文研究一个连续动力系统和一个离散动力系统当参数变化时,动态的变化状况。 对于带外力与阻尼激励,具有五次非线性项的Duffing方程,应用Melnikov方法给出在周期扰动下系统产生混沌运动的准则,应用二阶平均方法和Melnikov方法给出在拟周期扰动Ω=nw+(?)σ,n=2,4,6下,平均系统存在混沌的准则,但是证明当n=1,3,5,7-20时不能用平均方法给出混沌的存在准则(这里σ和ω不可约),利用数值模拟验证平均系统和与其取值相对应的原方程的混沌存在的一致性。并应用二阶平均方法、分支理论和混沌理论给出当三个频率满足Ω:w:w0=n:m:1(其中n,m=1,2,3,1/2)时系统的共振及分支情况,应用Melnikov方法和数值模拟,讨论当Ω:w:w0=n:m:1(m3)时的共振情况。对于generalized Henon映射,应用中心流形定理和分支理论给出fold分支、flip分支和Hopf分支的存在条件,并从理论上证明在一定的参数条件下,映射存在Marotto意义下的混沌。通过数值模拟(包括不动点的分支图、同宿和异宿三维分支曲面、三维和二维分支图、最大Lyapunov指数图、相图、Poincare映射),验证理论分析结果的正确性和展示丰富而复杂的新的动力学行为。其中包括带周期窗口的暂态混沌、周期轨的跳跃行为、从周期-2(4)到周期-4(12)的bubble.混沌行为和周期行为(或拟周期行为)交替出现、混沌多次突然出现、混沌行为和不变环突然出现或突然消失、混沌突然消失到周期轨、倍周期分支和逆倍周期分支到混沌、周期轨的对称破缺、interior crisis现象、拟周期路径到混沌,和各种各样的的拟周期吸引子、混沌吸引子、非吸引的混沌集、奇怪的混沌吸引子和奇怪的非混沌吸引子。对吸引子的最大Lyapunov指数的计算进一步确定了混沌行为的发生。 全文共分四章。 第一章是关于动力系统的分支和混沌预备知识。简要介绍连续和离散动力系统的中心流形定理,二阶平均方法和Melnikov方法.对混沌的定义、特征以及通向混沌的道路也作了简要地介绍。 第二章应用定性理论、分支和混沌理论以及数值模拟讨论带外力与阻尼激励的Duffing方程的动力行为,应用Melnikov方法证明在周期扰动下混沌的存在性准则,应用二阶平均方法和Melnikov方法给出在拟周期扰动Ω=nω+(?)σ,n=2,4,6下,平均系统的混沌的存在准则,但是证明当n=1,3,5,7-20时不能用平均方法给出混沌的存在准则。并且,通过数值模拟验证理论分析结果的正确性和原方程的参数对动力性质的影响和发现新的动态。 第三章研究带周期外力与阻尼激励的Duffing方程的共振解及其分支情况。给出当三个频率ω0,ω和Ω满足某些共振关系时,系统的动态情况。应用二阶平均方法、分支和混沌理论研究该系统当Ω:ω:ω0=n:m:1(其中n,m=1,2,3,1/2)时的共振及分支情况,应用Melnikov方法和数值模拟,讨论当Ω:ω:ω0=n:m:1(m3)时的共振情况。并用数值模拟验证理论结果和发现新的动态。 第四章研究generalized Henon映射的分支和混沌现象。应用中心流形定理和分支理论给出fold分支、flip分支和Hopf分支的存在条件,并从理论上证明在一定的参数条件下,映射存在Marotto意义下的混沌。并用数值模拟验证理论结果和发现新的动态。


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