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Moore-Penrose逆在期权定价中的应用研究

姚落根  
【摘要】: 自从1973年Black和Scholes[1]的开创性论文以来,未定权益的定价理论得到了迅猛发展,其中以无套利定价理论最为突出.粗略的讲,该理论表明市场无套利假设等价于存在鞅测度.如果市场是完全的,则无套利假设等价于存在唯一的鞅测度,从而,对于完全市场中的任何未定权益,都有唯一的无套利价格.然而在不完全市场中,存在许多鞅测度,对不可复制的未定权益,也就有许多无套利价格.这样,仅仅利用无套利理论无法得出未定权益唯一的价格.大量实证结果表明,实际市场是不完全的,因此研究不完全市场中未定权益的定价更加具有实际意义. 本文在利用随机过程的M-P逆求解一类线性随机方程的基础上,对不完全市场中的等价鞅测度进行了较为深入的研究,主要研究内容和结果如下. 在绪论中,主要对金融数学的发展历史,特别是对期权定价理论的研究内容、成果及目前研究热点进行了较为详尽的介绍. 第二章,首先通过把Levy过程分解为两个独立过程之和,将Esscher变换由单参数推广到双参数,从而得到一簇(双参数)概率测度.我们给出了这簇概率测度是等价鞅测度的充要条件.其次,在几何Levy过程模型中,利用均值修正方法构造了一个概率测度Qmn.我们证明了Qmn为等价鞅测度的充要条件是Levy过程具有Brownian运动部分,并且给出了此时Qmn关于市场概率测度的导数表达式.对于纯跳过程,我们证明了此时Qmn与市场概率测度不可能等价,但在Qmn下计算出来的欧式看涨期权价格却是无套利的. 第三章,Dzhaparidze和Spreij[2]证明了任意Rd值,可料的局部平方可积鞅的二次变差过程的M-P逆保持可料性.受此启发,我们首先证明了任意Rd×n值,可料随机过程的M-P逆仍然可料,从而推广了Dzhaparidze和Spreij[2]的结果.在此基础之上,我们进一步讨论了一类线性随机方程可料解的性质及可料解的结构. 第四章,利用第三章的结论,在扩散系数矩阵不必几乎处处满秩的条件下重新讨论了扩散模型.我们利用扩散系数矩阵的M-P逆刻画出了全体等价鞅测度,给出了扩散模型中一些等价鞅测度的具体表达式.第五章,以M-P逆的形式给出了半鞅模型中的最小鞅测度的一般表达式,并得到了扩散模型,跳扩散模型以及几何Levy过程模型的最小鞅测度.


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