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P-Laplace方程正解的性态研究

胡华香  
【摘要】:中心且满足|Ω*|=|Ω|的球.若用h(x)表示如下问题的解则本章的主要结论可叙述为 定理4.2.1.1.若u(x)是问题(1)的解,则对于任意的k≥q+1有以及其中并且上面两式中的等号成立当且仅当Ω是一个球. 应用上述等周不等式,可得到问题(1)的解u(x)的最佳上界估计,该结论可表述为 定理4.2.1.3.设u(x)为问题(1)的唯一解.则且等号仅在Ω为球时才可能成立. 另外,在p=n且q=p-1时,本章还给出了一个已知的等周不等式的简化证明.详情参见本章第三节. 第5章讨论如下问题第一特征值的下界估计.其中c(x)是一个非负有界函数. 设Ω*是Ω的Schwarz对称重排,R*是Ω*的半径,ωn是Rn中单位球的体积.令选取r满足定义函数h(x)为 本章的结论可表述为如下定理 定理5.1.λ1(Ω;c)≥λ1(Ω*;h),其中λ1(Ω;c)表示问题(2)相应于Ω和c(x)的第一特征值,而λ1(Ω*;h)表示问题(2)相应于Ω*和h(x)的第一特征值. 这一结果可以作适当的推广,详情见本章的具体内容. 第6章考虑抛物P-Laplace方程初边值问题其中Ω是Rn中的有界光滑区域, n≥2,1<p<n,p-1<q<p*,是定义在Ω上的非负连续函数.我们得到了此方程非负全局解的一致有界性的结论: 定理6.1.1.设u(x,t)是方程(3)在Ω×[0,∞)的解,则u(x,t)全局有界,即存在一个只与u0有关的常数M,使得对任意x∈Ω,t>0,总有u(x,t)≤M,其中u0∈C(Ω).


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