有限域F_(2~n)中置换多项式的若干研究

【摘要】：置换多项式在代数学中是一个相当重要和热门的研究对象,其在密码学当中的运用也十分广泛,为密码学的加密解密过程提供了理论支撑。在研究与单项式EA等价的置换多项式时,李和王得出了当n为奇数时,多项式x+L(x)成为F上置换多项式需要满足的条件。本文将采用新的方法,即埃尔米特准则结合汉明重量的方法,对他们的一些结论进行重新证明,一方面使得运算的方法更为直接,另一方面,也是对置换多项式研究进行了一些有益的探索。具体研究内容安排如下:第一章由引言和国内外研究现状构成,引言简单介绍了代数学的发展历史和密码学方面的一些基础理论,国内外研究现状列举了与本文研究内容相关的文献,以及里面的一些研究方法;第二章开始介绍预备知识:关于代数学的基本符号与理论,以及在有限域上的置换多项式的定义性质等,并给出了相关的引理;第三章将选取F中n的特殊值为3的情况,利用埃尔米特准则的条件,在多项式展开的过程中结合汉明重量来进行计算,并得到此情况下线性多项式L(x)的具体形式。在这部分主要利用了2的幂次方展开式,在展开式中可能出现的情况中寻找符合要求的项,并且我们最后得到的结果与已知文献的结果一致;第四章运用与第三章类似的方法,得到F的情况下线性多项式L(x)的具体形式,并通过归纳总结,进一步得出了当n为奇数时,运用此方法可以得出的x+L(x)成为F上置换多项式需要满足的一些条件。虽然方法类似,但是实现过程中还是有较大的区别。