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微分方程解的性态

徐志庭  
【摘要】:微分方程解的性态的研究,历来都是微分方程领域中的重要研究课题之一:一方面,它有着广泛的实际背景,另一方面,有其重要的理论价值。本文研究泛函微分方程与偏微分方程解的性态。我们将建立无界滞量中立型泛函微分方程(p-NFDE)解的一致稳定,一致渐近稳定,一致有界,一致最终有界,以及二阶非线性椭圆型偏微分方程解的渐近性与振动性的理论。这些工作是对相关的基本理论的改进和发展。 全文共分四章。 第一章,概述。主要回顾有界滞量滞后型泛函微分方程(RFDE)和中立型泛函微分方程(NFDE)解的稳定性与有界性,以及二阶常微分方程与二阶非线性椭圆型微分方程解的渐近性与振动性的研究进展,列出经典性的基本定理,着重介绍本文主要工作并与之对比,从而说明本文研究工作对现有理论的贡献。 第二章研究无界滞量中立型泛函微分方程(p-NFDE)解的稳定性问题。首先介绍泛函微分方程新类——无界滞量泛函微分方程(p-NFDE),它是区别于用传统方法分类的有界滞量泛函微分方程,无界滞量(无穷延滞)泛函微分方程,以实例说明p-NFDE是一种十分广泛的泛函微分方程。针对中立型方程的特点,提出一种新的“D算子稳定性”的定义,突破了习惯上以不等式形式给出的“D算子稳定”的定义,它不仅适用于D线性算子,而且适用于非线性D算子,因而更具实用性。利用Liapunov-Razumikhin泛函法建立了p-NFDE解的稳定的理论。通过采用两个Liapunov泛函和辅助函数H(x)方法,在一些弱于基本定理中的(?)定负条件下,给出了三个关于p-NFDE零解一致稳定(U.S)和一致渐近稳定(U.A.S)的充分判据,这些定理均不需要“方程右端泛函f(t,φ),当φ有界时,f(t,φ)有界”的限制,改进和推广了RFDE的基本定理到p-NFDE,用实例说明本文结果的有效性。 第三章研究p-NFDE解的有界性问题。中立型泛函微分方程有界性的研究工作,现有文献尚不多见,本章将弥补这一不足。首先给出一个广泛意义下的“D算子有界”定义,利用Liapunov泛函,结合凸函数和Jensen不等式技巧,得到了保证p-NFDE解一致有界(U.B)和一致最终有界(U.U.B)相当广泛有效的四个充分条件,全面改进和推广了RFDE有界性结果,


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