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拟共形映射的几何性质及Riemann流形上的最优化问题

李淑龙  
【摘要】: 在本文中,我们研究了拟共形映射的几何性质及Riemann流形上的最优化问题,同时,也给出了拟共形映射在Teichmüller空间的一些应用。本文分五章: 在第一章中,我们从拟共形映射理论、Teichmüller空间理论以及优化理论的历史发展及应用出发,阐述本文研究课题的背景、意义。在这一章中,我们也讲述了我们的主要研究内容。 在第二章中,我们研究了单位圆盘之间同胚映射的Schwarz型定理。我们推广了全纯映射的Schwarz引理,得到了拟共形映射在一定面积偏差条件下的Schwarz型定理,以及保向同胚映射在一定模条件及原点规范条件下的Schwarz型定理。 在第三章中,我们研究了单位圆周之间的同胚映射到单位圆盘的自然共形扩张。我们首先由两个已知的扩张F1,F2构造了一族带参数的共形自然扩张Dη,讨论了这族扩张的性质,还给出了它是全局同胚的充分条件。其次我们由Douady-Earle扩张定义了一个逆扩张,得到了跟Douady-Earle扩张类似的一些好的性质,但逆扩张与Douady-Earle扩张并不总是一样的。 在第四章中,我们利用第三章定义的第二个扩张–逆扩张给出渐进Bers映射是渐近Teichmüller空间到渐近全纯二次微分空间的嵌入映射的另一证明。 在第五章中,我们研究了Riemann流形上的最优化理论问题。我们定义了完备Riemann流形上的一个变分不等式,得到了它与优化问题等价的充要条件;还给出了解的存在性和唯一性的条件;最后研究了一定条件下解及解集的性质。


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