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R-函数理论在板壳力学及扭转问题中的应用

李善倾  
【摘要】:薄板与扁球壳的振动和弯曲问题、弹性杆的扭转问题,对于这些问题只有少数具有简单边界形状的有解析解,如矩形和圆形边界形状;用变分法等数值方法求解时,也只有具有简单边界形状的情况下才能找到试函数。对于具有复杂边界形状的很难直接求解,而R-函数理论可解决此问题。本文引入R-函数理论研究了以下几方面具有复杂边界形状问题: (1)将R-函数理论与变分法应用于分析了复杂横截面形状杆的弹性扭转问题。只用变分法求解杆的弹性扭转问题时,只有截面形状简单时如矩形、椭圆等容易假设满足边界条件的应力函数,对于复杂横截面形状时很难找到满足边界条件的应力函数。R-函数理论可以解决此问题,R-函数理论可以用隐函数形式描述复杂区域。引入R-函数理论可容易构造复杂横截面形状杆的应力函数,使其满足边界条件。通过变分法确定复杂横截面形状杆的应力函数表达式,进而求解单位扭转角和剪应力分量。最后通过数值算例来验证本章方法的可行性和正确性。 (2)应用R-函数理论和准Green函数方法,研究了简支多边形底扁球壳和弹性地基(包括Winkler地基和Pasternak地基)上扁球壳的弯曲和自由振动问题。首先采用中间变量将简支多边形底扁球壳的弯曲和自由振动微分方程分解为两个互相耦合的二阶微分方程,再利用问题的基本解和边界方程构造准Green函数,这个函数满足了问题的齐次边界条件,但没能满足基本微分方程。建立准Green函数的关键在于将问题的边界用规范化方程ω=0表示出来,问题的区域由不等式ω0表示出来。ω将存在多种选择,经过适当挑选,积分方程核的奇异性可以被克服。R-函数理论保证了对于任何复杂的区域,总可以找到函数ω,从而可将原问题化为无奇异性的第二类Fredholm积分方程。最后由离散化方程组得挠度,而对自由振动问题从离散化方程组有非平凡解的条件求得固有频率。通过数值算例验证了准Green函数方法的可行性和正确性。 (3)应用R-函数理论和准Green函数方法,研究了任意边界形状固支薄板(包括Winkler地基上的)的自由振动问题和固支正交各向异性薄板(包括Winkler地基上的)的弯曲问题。对于固支正交各向异性薄板问题,首先引入参数变换,将正交各向异性板的弯曲微分方程化为双调和算子的边值问题。利用问题的基本解构造一个准Green函数。这个函数满足了问题的齐次边界条件,但没能满足基本微分方程。而建立准Green函数的关键在于将问题的边界用规范化方程ω=0表示出来,问题的区域由不等式ω0表示出来。ω将存在多种选择,经过适当的数学处理,积分方程核的奇异性可以被克服。R-函数理论保证了对于任何复杂的区域,总可以找到函数ω,从而可将原问题化为无奇异性的第二类Fredholm积分方程。最后从离散化的齐次方程组有非平凡解的条件出发,求出薄板自由振动固有频率;而对弯曲问题求解离散化方程得挠度。通过固支矩形薄板、梯形薄板、平行四边形薄板的数值结果表明了本章方法的可行性和正确性。


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