孤子传输系统的研究

【摘要】：本论文从严格孤子解、孤子微扰理论和数值模拟三方面研究一些孤子传输系统。 大部分完全可积的(1+1)维非线性偏微分方程，特别是有明确物理应用的方程的孤子解已经用反散射变换等方法得到，但还剩下一些难题，变形的非线性薛定谔(DNLS)方程在非零边值下的反散射变换就是其中一个。我们通过引入仿射参数解决了这个问题，发现它有丰富的孤子解，既有呼吸子(亮、暗孤子束缚对)，也有亮孤子和暗孤子。 可积系统在实际物理问题中只是近似成立的，因此有必要研究微扰对孤子的影响，在众多微扰方法中，直接微扰方法近年来受到特别重视，并圆满地解决了诸如非线性薛定谔(NLS)暗孤子和DNLS／修正的非线性薛定谔(MNLS)亮孤子等用其它微扰理论不能妥善解决的问题。但DNLS／MNLS孤子在微扰下的零级近似已经非常复杂，我们基于留数定理总结出一套有广泛适用范围的符号计算方法。 数值模拟和实验表明，某些微扰能诱导出离开孤子的辐射，这在理论上需要考虑高阶修正来解析，而一阶修正是一个对空间和连续谱参数的二重积分，被积函数是高频非线性振荡的，收敛很慢，所以不可能做严格的解析计算，数值计算也缺乏有效的方法，我们用直接微扰方法重新导出了NLS方程的孤子微扰理论，利用平方Jost解除平面波因子外，可以逐项对空间和连续谱参数分离变量的性质，将一阶修正的二重积分表示为傅利叶变换与逆变换，从而通过快速傅里叶变换实现数值计算，结果表明一阶修正不能充分解释微扰诱导的辐射。 微扰理论只能解决孤子解附近的问题，高效的数值模拟手段一般是必须的。分步傅利叶方法是模拟双曲余割型孤子传输的有效方法，但在处理非双曲余割型的飞秒亮孤子时遇到一些困难，而在暗孤子数值模拟中因亮背景的影响而遇到更大困难。本文提出两种处理飞秒孤子问题的方案并介绍一种分步傅利叶方法的改良版本，最后在分步方法的基础上结合Chebyshev谱方法提出一个实现暗孤子数值模拟的方案。