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期权定价的路径积分方法研究

王国治  
【摘要】:现代金融理论中运用大量的数学工具来研究风险的预防和控制。在现代金融市场上,金融衍生品由于其强大的避险与保值功能越来越成为主流的风险控制和管理的工具。这些金融衍生工具中,期权是非常重要的一种。随着金融创新的不断发展,证券化的资产种类也在不断扩展,包括股票,债券,大宗商品,外汇,股票指数,利率,波动率等都可以作为证券化的标的资产。在给定一定的标的资产的情况下,要对相应的期权进行定价就是一个比较复杂的问题。自从Black和Scholes及Merton建立了期权定价理论以后,期权定价已经成为金融研究的一个重要的核心领域。在他们工作的基础上发展出了很多的模型和技术用来处理关于期权定价的问题。各种在工程和自然科学领域以及应用数学方面的重要方法都引入到期权定价的研究中。路径积分方法作为现代物理学的重要方法,也同样被引入到期权定价问题的研究中。 本文主要集中研究了由BS框架下得出的期权定价的路径积分在几种期权定价中的应用。这个路径积分模型是由Chiarella, El-Hassan和Kucera提出。由于路径积分很难或不可能得出解析解,因此在这个模型基础上,重点研究了包括欧式期权、美式期权和障碍期权定价路径积分的数值近似解法。在原有的普通Fourier-Hermite级数方法的基础上,本文又考察了标准化的Fourier-Hermite级数方法求解欧式期权定价路径积分。相对普通的Fourier-Hermite级数方法来说改进了运算效率,并减弱了普通Fourier-Hermite级数方法由标的资产价格偏离合约的执行价格太大时所导致的计算精度下降和波动比较大的特性。 Fourier-Hermite级数方法这种谱方法求解期权定价的路径积分主要是将路径积分进行了近似的分解和简化。除了这种路径积分的数值近似算法以外,我们又引入插值多项式和Newton-Cotes乘积法则这两种数值方法来求解期权定价的路径积分,之所以运用这两种方法一方面是因为这两种方法主要是通过将路径积分近似简化为有限的闭区间积分之和来求解路径积分。详细讨论了插值法各项参数和路径积分参数各项参数对计算精度的影响以后。讨论了不同离散化方法下对插值法计算结果的影响,以及各个离散化方法的优劣,这些离散化方法包括固定节点、固定节点间隔和适应性节点分布这三种方法。固定数目节点的离散化方法的优点是便于施行能很快得出数值结果。在运用等间隔的离散化方法中可以更清楚的知道哪些参数在获得更精确计算结果中比较重要,并且在以后的分析中等间隔离散化方法可以用来找出最精确的结果。最后一种离散化方法是适应性节点方法,根据插值误差来决定节点的分布。通过控制插值误差,得到最适宜个节点分布。同时还发现每个时间步骤的节点分布都是很相似,因此为了提高计算效率,无需计算每个时间步骤的节点分布,而只需要运用第一个时间步骤的节点分布即可,并且舍去溢出的节点,并用不是节点的端点来代替节点。在固定节点的离散化条件下,考察了Newton-Cotes乘积法则对路径积分近似求解中的应用,根据精度要求和计算效率的不同,分别讨论了左右端点近似估算法、中点近似法、梯形法和复化Simpson方法。从结果来看这两种方法在估算欧式期权定价的路径积分的估算效果都比较好。 除了欧式期权的路径积分的数值估算,文章还研究了运用插值多项式和Newton-Cotes乘积法则来估算美式看跌期权和下降敲出看涨障碍期权定价的路径积分的估算。参照已有文献得出的解析解和二叉树方法的结果,插值法在这些期权的应用效果比乘积法则更好。乘积法则在障碍期权的定价中表现优于在美式看跌期权的表现。这主要是因为美式期权可以在有效期内随时执行的特性导致每个时间步骤的提前执行边界的不够精确的计算。即使使用有插值法给出的正确的边界值也无助于数值结果的改进。 在讨论了BS框架下所得期权定价路径积分的估算方法之后,本文进一步探讨了路径积分在期权定价问题中更深层次的应用。BS框架所得出的期权定价路径积分其基本思路主要是基于路径积分对随机运动历史路径的几何直观描述。随着路径积分方法在金融问题中应用研究的深入,路径积分方法在处理复杂的物理随机动态系统方面的广泛应用同样也适用于处理更为复杂的期权定价问题。这个思路最重要的内容就是构建一个随机动态系统的作用泛函,每个路径的最小作用泛函构成了对整个随机动态系统的动态描述。而期权定价是一个具有类似结构的随机动态系统,因此可以应用这种思想来进行期权定价的路径积分建模。这种建模思路很好的将风险中性和无套利的思想联系起来。同样,按照这种思路,我们考察了具有Tsallis分布的非高斯期权定价的路径积分,Tsallis分布驱动下的随机过程能更接近现实市场中出现的尖峰和肥尾现象。运用路径积分处理这样的非高斯型期权定价更接近市场的实际情况。由于拉格朗日泛函的形式并不是唯一并且依赖SDE的结构,因此不能将一样的拉格朗日泛函运用到所有的SDE中。这样虽然推出了具有一般性的拉格朗日泛函表达式。但是这个表达式也不是唯一的,并且必须要考虑其对具有时间和过程变量的偏移项和扩散项的依赖性。这种拉格朗日泛函形式使我们能够非高斯过程的拉格朗日泛函。不过不能按照相应的高斯型路径积分的数值估算方法来进行求解。一个可选的方案是运用最小作用量方法,以找到能使作用泛函最小并且对整个路径积分贡献最大的路径。这种方法被称为瞬子方法。通过直接解Euler–Lagrange方程,就可以得到这样一个路径。这个Euler–Lagrange方程通常会导致高度非特异和非线性的微分方程。虽然也可能对这类的微分方程求解,但是对于运用拉格朗方法的路径积分来说,瞬子方法是一种比较可靠的估算这种路径积分的方法。当然,对于非高斯型期权路径积分的数值近似求解还有其他的可选技术,一种是将非高斯路径积分近似转化为高斯积分进行求解;另一种是采用量子场论中的扰动方法,将非高斯型路径积分进行近似分解。这也是本文进一步研究的一个方向。


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