Yang-Baxter方程和双参数量子群

【摘要】：在1988年, Faddeev L. D., Reshetikhin N. YU.和Takhtadzhyan L. A.运用FRT(Faddeev, Reshetikhin, Takhtadzhyan)方法[1]研究了经典李代数A, B, C和D型非单位根情形下单参数量子群的中心, Reshetikhin N. YU.等人利用FRT方法给出了单参数量子群的中心.双参数量子群的情况比单参数的情况要复杂的多,本文作者主要是研究A型非单位根双参数量子群.在本文中,作者运用双参数量子群定义中满足的关系式,通过双参数R矩阵Rr,s满足的RTT关系式,将双参数量子群U = U_(r,s)(gl_n)和U = U_(r,s)(sl_n)的生成元运用FRT的方法使其与L(+),L(-)中主对角线和次对角线上的元素一一对应起来.作者在本文中先是通过计算U_(r,s)(gl_n)和U_(r,s)(sl_n)中阶数比较小(2≤n≤5)的几组关系,然后将此关系推广至U = U_(r,s)(gl_n)和U = U_(r,s)(sl_n),并证明了所得关系式.最后作者还验证了双参数量子群关于其坐标函数代数中的-(d )是否等于d - d ,并且总结了现有的关于双参数量子群的中心的研究成果. 本文主要内容安排如下: 第一章着重阐述了量子群的发展情况,特别是单参数量子群的研究.现在也有越来越多的人来研究双参数量子群.但是对于双参数量子群,还有很多问题尚不明白. 第二章我们主要为第三章做一些准备工作.先介绍了Hopf代数结构,接着介绍了Yang-Baxter方程和它的解R矩阵.最后介绍了单参数量子群及其Hopf代数结构和对应的R矩阵Rq,在这一部分主要是为后面引入双参数量子群做一个对比,以此更加了解单参数量子群和双参数量子群,特别是他们在Hopf代数结构和R矩阵的结构中都有很多相似之处. 第三章是本文的主体部分.当r,s为非单位根,通过大量的计算,运用FRT方法将U_(r,s)(gl_n),U_(r,s)(sl_n)的生成元和L(+),L(-)中的主对角线和次对角线上的元素对应起来,并证明了这些对应关系.这为后面计算双参数量子群的中心提供了方便.作者还验证了双参数量子群中-(d )是否等于d - d .并总结了现有的关于双参数量子群的中心的研究成果. 最后是关于本文的研究结论和展望.