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传染病模型的动力学传播分析和控制

刘永奇  
【摘要】:传染病是严重危害人类的一类疾病,尤其是肺结核(TB)和艾滋病(HIV)。他们都具有很强的传染性,成为人类的第一和第二杀手,很有必要研究它们在人群中的传播规律和动力学原理。传染病动力学模型是生物数学模型的一个重要部分,利用动力学的方法,根据疾病的传播特点,建立传染病传播的数学模型,对模型进行理论分析,有助于理解疾病的传播规律和传播途径。研究传染病是否会消失或者成为地方病,已经成为传染病学和数学相结合的一个重要的具有理论和现实意义的研究课题,对于传染病进行预测,有利于传染病的预防与控制。这篇博士学位论文就是将结核病和艾滋病的有关知识和数学理论结合起来,建立了三个仓室模型,对它们的动力学行为进行深入研究分析,并对它们的流行规律及相关问题进行了探究。首先,对结核病和艾滋病的数学模型的国内外研究状况和最新进展作了综述,还简单介绍了传染病动力学的基本知识,并从中引出本文所要研究的问题,并简要叙述了本文所得到的结果。其次是介绍本文研究需要的预备知识,主要包括几个方面,第一是关于稳定性方面的知识,Lyapunov稳定方法,全局渐近稳定的判别方法,第二是分支方面的理论,包括前向后向分支,Hopf分支等,第三部分介绍了控制理论的一些基础知识,包括最大值原理和精确反馈线性化等。在此基础上,本文的研究工作主要有如下几个方面: 一、建立了一个关于肺结核传染病的数学模型,这个模型包含了未发现病人以及耐药患者人群,计算出了基本再生数R0 ,证明了模型的平衡点的存在及稳定性,特别的,在R0≤1的条件下,利用Lyapunov稳定方法,Lyapunov-LaSalle不变集原理等证明了无病平衡点是全局渐近稳定的。并且应用广东省近年来结核病的统计调查数据,预测今后广东省的发病趋势,预测结核病是否消亡以及影响疾病的重要因素,并为控制结核病提供了一定的预防和干预策略。 二、我们介绍了一类CD4T细胞具有非线性增殖的艾滋病传染病模型。这个模型展示了丰富的数学现象,如后向分支,Hopf分支,在一定条件下的平衡点的全局渐近稳定性。利用几何分析的方法证明了地方性平衡点的全局渐近稳定。在此模型基础上加入了T淋巴细胞(CTL)这个变量, CTL细胞是人体对抗病毒的免疫响应,研究了CTL对于HIV病毒的影响,分析了扩展模型的稳定性和分支。利用反馈线性化理论把非线性系统化为线性系统,研究了疾病消亡的问题,发现疾病是可控的,找到了能使疾病可控的条件。在原模型基础上加入了药物控制项u (t ),设立了一个目标函数,目的使得病毒载量和治疗花费的总和最少,利用最大值原理探索设计出了最优控制策略。 三、考虑了具有两种目标细胞的HIV模型,包括CD4T细胞和巨噬细胞。此模型特点是加入了细胞增殖项和巨噬细胞项,建立一个4维的数学模型,全面探讨了平衡点的稳定性质,利用Routh-Hurwitz判别法证明了平衡点的局部渐近稳定性,运用Lyapunov-LaSalle不变集原理证明了全局渐近稳定性。并在此模型基础上,引入时滞,对模型进行了理论分析,发现在一定条件下,平衡点的稳定性不会发生变化。 最后,结论部分总结了当前的工作并给出了今后研究的目标。


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