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随机泛函微分方程的概周期性及概自守性研究

曹俊飞  
【摘要】:微分方程的周期解、概周期解以及概自守解等渐近行为可以深刻地刻画系统的规律性变化,历来受到许多学者的高度重视.与周期现象相比,概周期现象是现实世界中更常见的现象,而概自守现象则是三种现象中最普遍的一种.自H.Bohr提出概周期函数理论和S.Bochner引入概自守函数以来,概周期函数和概自守函数广泛应用于常微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程及偏微分方程等领域,极大地丰富和发展了概周期函数和概自守函数理论,因此,微分方程概周期性和概自守性的研究不仅在理论上有着十分重要意义,而且在实际应用中有着广阔前景. 众所周知,随机微分方程和确定性泛函微分方程在刻划事物的变化规律方面发挥了重要的作用,成为两个非常有效的工具.本文所研究的随机泛函微分方程则是随机微分方程与确定性泛函微分方程的综合与推广.由于随机泛函微分方程所描述的系统既考虑了环境噪声的影响,同时也兼顾了延迟因素的作用,因此,在现实世界中此类方程更能真实地模拟实际问题.基于此,随机泛函微分方程广泛应用于化学、物理、生态学、医学、金融、神经网络及控制等各领域的系统建模中. 本文综合利用It6公式、随机积分的均值不等式、Holder不等式等随机分析的理论与不等式技巧,并有机结合一些从确定性微分方程发展到随机系统中研究渐近行为的方法,探讨了随机泛函微分方程的概周期性及概自守性,提出了p-期望渐近概周期随机过程和p-期望概自守随机过程的新概念,获得了随机泛函微分方程平方期望概周期温和解、平方期望渐近概周期温和解、平方期望概自守温和解及平方期望伪概自守温和解的存在性和稳定性的一些判据.特别地,一些具体系统的研究进一步说明了这些判据的有效性.本文的具体研究工作如下: 第一章为绪论,简要介绍了概周期函数、渐近概周期函数、伪概周期函数、概自守函数、渐近概自守函数、伪概自守函数以及强连续线性算子半群的发展概况及基本概念和性质,同时简述了随机泛函微分方程和随机分析的一些相关知识,并给出了本学位论文的研究背景、意义与主要工作. 第二章研究随机泛函微分方程平方期望概周期温和解的存在性和一致稳定性,给出了随机泛函微分方程存在平方期望概周期温和解的充分条件,在此基础上,获得了平方期望概周期温和解一致稳定性的判据,并进一步对一个具体随机泛函微分方程的研究,说明了所得平方期望概周期温和解的存在性和一致稳定性理论结果的有效性. 第三章和第四章中,在己有的p-期望概周期随机过程概念的基础上,分别提出了p-期望渐近概周期随机过程和p-期望概自守随机过程的概念,刻画了它们的基本性质.在此基础上,运用所得结果研究了随机泛函微分方程平方期望渐近概周期温和解和平方期望概自守温和解,分别获得了随机泛函微分方程平方期望渐近概周期温和解和平方期望概自守温和解的存在性以及指数稳定性的判据,并进一步对一些具体随机泛函微分方程的研究,说明了所得平方期望渐近概周期温和解和平方期望概自守温和解的存在性以及指数稳定性理论结果的有效性. 第五章研究随机泛函微分方程平方期望伪概自守温和解的存在性和指数稳定性,给出了随机泛函微分方程存在平方期望伪概自守温和解的充分条件,在此基础上,获得了平方期望伪概自守温和解指数稳定性的判据,并进一步对两个具体随机泛函微分方程的研究,说明了所得平方期望伪概自守温和解的存在性和指数稳定性理论结果的有效性.


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