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自旋圈积群的投射特征

胡晓莉  
【摘要】:自旋对称群Sn是对称群Sn的一个二重覆盖.早在1911年, I. Schur[23]用著名的SchurQ-函数以及Cliford代数研究了自旋对称群的特征标表.对称函数在研究自旋对称群Sn的投射特征标表中起着非常重要的作用.随着McKay对应和仿射李代数理论的发展,用Schur Q-函数来研究自旋对称群特征标的方法被推广到用顶点算子来研究圈积群的投射特征标[5],特征标表中大部分特征值都能用顶点算子确定.但是其中有很重要的一部分不能用顶点表示来确定.所以本文主要是推广Schur在[23]中的用Cliford代数确定Schur Q-函数不能确定的那部分特征值的工作,即完成圈积群中尚未被确定的那部分特征标表. 继Frobenius和Schur在对称群上的经典工作之后, Specht[28]构造了一般圈积群的不可约特征.同时Osima[21]研究了广义对称群的不可约特征. Zelevinsky[36]研究了圈积群Γn的Grothendieck群的Hopf代数结构.在过去的二十年中又重新涌现了许多关于旋理论的研究. Stembridge[26]对Schur Q-函数从组合的角度给出了新的定义. Sergeev[25]发现了hyperoctahedral群与对称群有着类似的自旋特征公式. J′ozefak[11]用超代数的语言对Schur的工作给出了解释. Hofman和Humphreys[6]研究了自旋特征的Hopf代数结构.Nazarov[20]构造了自旋群的所有不可约表示. Jing[8]用顶点算子的方法来研究圈积群的投射(即自旋)特征,与Schur用Schur Q-函数来研究对称群的自旋特征有着异曲同工之妙. 当Γ是循环群时,圈积群ΓnSn的二重覆盖是自旋广义对称群.特别地当Γ=~Z2时,即hyperoctahedral群的情况. Schur证明了Sn的投射特征都被n的strict划分来刻画.对圈积群来说,投射特征与Γ的共轭类上的strict划分函数或者说是着色的划分是一一对应的. 圈积群Γn的特征标表中分裂的共轭类(即能提供非零特征值的两个不等价共轭类的并)被划分成两个部分:1,对应于全是奇数的划分函数的偶共轭类;2,对应于odd srtict划分函数的奇共轭类. FJW[5]确定了圈积群的所有自旋特征并证明了在偶共轭类上的特征值由twisted顶点算子的矩阵系数来确定,特征标表中的一大部分数值被确定.但是顶点算子和Schur Q-函数一样无法计算在奇共轭类上的特征值.后来在[1]和[19]中,用组合的方法考虑了广义对称群的自旋特征并计算了基本自旋特征值.但是从上述可知,圈积群的自旋特征在奇共轭类上的值是一直不清楚的,无论是McKay对应还是顶点表示都无法确定这部分的特征值.所以补全这部分特征标表对表示理论很有意义,同时它也将提供解决其他经典Weyl群类似问题的方法. 本文的结构如下:第一章,回顾特征理论,半单超代数和超模,划分和划分函数以及对称群的一些基本知识.第二章,完成广义对称群(即Γ为交换群)中未被确定的那部分自旋特征标表.我们用Mackey-Wigner的方法(小群定理)[24]从广义对称群的Young子群上构造了它的所有不可约自旋表示.然后确定其特征标表.第三章,当Γ为任意有限群的时候, Mackey-Wingner的方法不再适用,我们从特征理论出发直接计算不可约自旋特征在某些特殊共轭类上的特征值,证明了只存在一类特殊的奇共轭类才可能提供非零特征值.第四章,鉴于自旋对称群和hyperoctahedral群之间非常巧合的自旋特征公式的关系,我们也补全了圈积群HΓn的自旋特征标表.


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