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一类自仿集与自仿测度的维数理论研究

唐思远  
【摘要】:在一个度量空间中,迭代函数系统(IFS)是一种重要的生成分形的手段。人们最为关注的两类由IFS生成的分形集是自相似集和自仿集。其中,自仿集是由压缩仿射组成的IFS生成的吸引子。在欧式空间中,自仿集是自相似集的推广。本文将研究自仿集的维数。关于自相似集的维数研究已有系统完整的结果。而自仿集的维数计算及估计却是相当困难。这是因为,相比于自相似集只需要讨论覆盖的大小和位置关系,自仿集覆盖的形状多变也是一个难点。关于自仿集的维数,本文获得如下两个结果:1)针对一般自仿集的维数在多大程度上不依赖IFS中仿射的平移量的问题,本文将Jordan,Pollicott,Simon[23]的相关定理进行了推广。通过de Finetti定理,本文把原定理条件中,平移量Y的随机性由独立同分布序列(iid sequence)推广至一类可展序列(spreadable sequence),从而使得结论适用于更广的一类随机自仿集。2)针对特殊自仿集的维数,给出了一个计算一部分Feng-Wang自仿集[15]的Minkowski维数的定理。该定理指出,其Minkowski维数公式是由自仿集在水平或垂直方向的投影集的Minkowski维数,以及迭代矩形的系数决定的。该定理包含了Feng,Wang[15]的结果。最后,举出两例不满足定理条件的自仿集。其中一例是Barański集,因而其维数结果仍可由Barański[2]的结果得到。另一例是尚未被研究过的Feng-Wang集,本文通过使用Feng,Wang[15]的组合结果,证明了该集合的Minkowski维数仍可由上述定理的维数公式得到。此外,通过使用Mc Mullen的方法,本文还估计了该集合的Hausdorff维数下界。


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