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非对称度量空间及其在控制中的应用

陈少白  
【摘要】:非对称度量顾名思义就是不确保对称性的一种广义度量,由于受到国外部分学者的重视,其在非线性系统研究中的重要性已初现端倪。本文主要对非对称度量空间进行一系列具有一定创新的基础研究,并将非对称度量应用到多目标最优化、非线性控制、模式识别等方面。 本文介绍非对称度量空间的一些基本概念以及它的拓扑性质,提出一些新的概念,如上极限、下极限、上完备以及相关概念,讨论和研究几个重要的非对称度量: 1.Hausdorff半距离。在分形几何与集值分析的研究中,采用的是对称的Hausdorff距离所构成的完备度量空间,文章证明Hausdorff半距离空间是上完备空间。 2.可测集合之间的非对称度量。文章提出了可测集合之间的非对称度量,它是利用集合A与集合B的测度μ(A∩B~c)作为集合A到集合B的非对称距离,并将它用于可测分类器空间。 3.随机变量之间的非对称度量。文章利用条件熵建立随机变量之间的非对称度量,用该非对称度量衡量随机变量之间的相关性。 根据Banach空间在泛函分析中极为重要的地位,文章研究了非对称Banach空间(完备性采用的是上完备);建立了非对称范数空间上的线性算子的非对称范数,得到非对称范数空间上的线性算子有界增性与连续性是等价的结论;在非对称范数空间上建立非线性算子的G-微分,F-微分。由于非对称度量确定了一个偏序关系,文章将凸泛函的值域替换为非对称范数空间,展开对凸映射的研究,获得一些相关结果。 文章对非对称度量在多目标最优化、非线性控制及模式识别等方面的应用展开研究,主要研究成果有: 1.多目标最优化问题 目前,多目标最优化问题是以有序Banach空间作为基本空间框架进行研究的,它不仅带来了具有高度概括性的统一理论,而且为最优化理论应用于理论数学、控制论以及经济学等领域开辟了道路。有序Banach空间由一个Banach空间和空间上指定一个序锥构成,文章证明了一个非对称Banach空间其本身就具有一个序锥;另一方面,有序Banach空间确定了一个非对称Banach空间并且它们具有同一个序锥。可见,多目标最优化问题以非对称Banach空间作为基本空间框架进行研究是一种有意义拓广。文章还将下半连续泛函在紧集上可以达到最小值这个著名定理和Ekeland变分问题推广到非对称度量空间上。


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