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关于非线性椭圆型方程多重解的研究

张贻民  
【摘要】: 本文主要研究含自然增长项的拟线性椭圆型方程多重解的存在性,含一般权和Hardy位势的椭圆型方程在新空间中非平凡解的存在性,含临界指数的拟线性Schr¨odinger方程正解或多重解的存在性. 在第二章?中,考虑一类含自然增长项的拟线性椭圆型问题首先利用变分原理证明了一正一负两个极小解的存在性,而后比较极小解和零点的临界群,证明这两个极小解非零.再利用不光滑Morse理论和正合序列的性质,在扰动函数f(x,u)没有任何对称假设的条件下,得到了问题三个非平凡解的存在性. 在第三章中,通过一个含一般权的Hardy不等式,建立了一个新的Sobolev-Hardy空间,并在此空间中给出了紧嵌入定理.然后应用Morse理论去研究含一般权和Hardy位势的椭圆型问题考虑函数f(x,u)或者它的原函数F(x,u)在零点和无穷远处所处条件不同时,计算临界群,通过临界群的不同来获得方程在Sobolev-Hardy空间中非平凡解的存在性. 第四章主要讨论J. M. do O′及U. Severo在[1]提出的开问题2.考虑一类含临界指数的拟线性Schr¨odinger方程通过一个变换,拟线性Schr¨odinger方程可以简化为半线性椭圆型问题.使用不含(PS)c条件的山路引理,在一个合适的Orlicz空间,证明了上述含临界指数的拟线性Schr¨odinger方程存在一个正的驻波解. 第五章主要讨论刘家荃等在[2]中提出的开问题.考虑一类含临界指数的拟线性Schr¨odinger方程通过一个变换,将拟线性Schr¨odinger方程简化为半线性椭圆型问题.而后使用Lions的第二集中紧引理和无穷远处的集中紧原理去证明(PS)条件局部成立.最后通过极小极大值原理和Krasnoselski的亏格理论,确立了拟线性Schr¨odinger方程多重解的存在性.


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