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“good” Boussinesq方程和扩散方程保结构算法的研究

黄荣芳  
【摘要】:保结构算法是由我国著名计算数学家冯康院士及其研究小组在辛几何算法的基础上提出来的,是计算数学中的一个重要分支.保结构算法中主要包括有辛几何算法,多辛方法,李群方法,保能量方法等等.保结构算法已广泛应用在天文学,流体力学,量子物理,等离子体物理,大气科学,非线性光学等领域中.近年来,保结构算法中的保能量方法取得了极大的成功,主要体现在提出了不同的保能量方法.比如,G.R.W.Quispel, R.I.McLachlan等人提出的平均向量场方法,是基于离散梯度法的一类重要的保能量方法.目前,尚少有人研究高阶平均向量场方法的理论和应用. 本论文主要分成三部分: 在第一章中,我们利用Taylor级数和B级数理论分析了平均向量场方法的精度,并证明了高阶平均向量场方法保哈密尔顿系统的能量守恒特性. 在第二章中,提出了利用保能量的平均向量场方法求解"good" Boussinesq方程.首先用Fourier拟谱方法得到半离散的"good" Boussinesq方程,再利用平均向量场方法求解半离散的"good" Boussinesq方程,得到"good" Boussinesq方程的平均向量场格式,然后利用"good"Boussinesq方程的平均向量场格式在不同振幅下对孤立波进行数值模拟.数值结果表明平均向量场格式能很好模拟"good" Boussinesq方程中孤立波行为,能精确保持方程能量守恒特性. 李群方法是保结构算法中一类重要的方法.在第三章中,我们首先将扩散方程在空间方向离散后转化成刚性常微分方程,最后利用李群方法和相应阶的显式Runge-Kutta方法求解刚性微分方程.数值结果表明,李群方法和相应阶的显式Runge-Kutta方法有相应的精度,但李群方法的稳定性显著提高.


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