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R~N上一类椭圆方程正解的多重性

胡业新  
【摘要】: 椭圆问题因其广泛的物理背景而受到普遍的关注。近十几年来,关于具有临界增长的椭圆问题的正解是该领域中的热点之一。1973年,Amborosetti和Rabinowitz在[11]中提出了有名的山路引理,并利用这一引理解决了一般的半线性椭圆型方程的齐次Dirichlet问题的非平凡解的存在性。沈尧天教授发展了这一方面的工作,最早将山路引理应用于拟线性椭圆型方程的研究,取得了丰富的成果,并在研究拟线性椭圆型方程解的存在性与多解性的工作中作出了突出的成绩[12]-[14]。目前,利用山路引理结合变分方法来研究椭圆型偏微分方程已成为人们普遍采用的方法。 如果非线性项的增长阶数是关于Sobolev嵌入的临界指数。这时的嵌入连续,但不紧,故方程对应的变分泛函不满足紧性条件,此时寻求方程的非平凡解有了一定的困难。1983年,Brezis和Nireberg应用没有(ps)条件的山路引理讨论了含临界增长的半线性椭圆型方程正解的存在性[1]。1984年,P.L.lions提出了集中列紧原理[15]-[16],并用此原理讨论了无界域上的半线性椭圆型方程。1985年,他又提出了第二紧性原理[2]。从此,没有(ps)条件的山路引理和集中列紧原理成为人们研究带临界增长的非线性椭圆型方程和无界域上非线性椭圆型方程非平凡解存在性的有力工具。 1993年,张桂宜讨论了无界域上临界增长的非线性椭圆型方程的非平凡解的存在性[17]。此后,临界指数增长方面的研究进一步发展。1998年赵培浩在[3]中讨论了有界域上一类半线性椭圆型方程两个正解的存在性。郭信康教授在[4]中把这一结果推广到有界域上次临界增长的拟线性椭圆型方程。本文则在无界域R~N上讨论了主部是拟线性的、带临界增长的拟线性椭圆型方程的正解的多重性,在一定条件下证明了方程存在两个正解,进一步地推广了上述结果。此类问题来自于物理学中的渗流问题,具有理论和现实意义。


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