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素数幂阶子群与有限群结构的研究

何宣丽  
【摘要】:讨论有限群G的结构和性质时,我们常常借助于其子群的性质。众所周知,有限群的素数幂阶子群在有限群理论的研究中起着极其重要的作用。本文的主要目的,是研究Fitting子群、广义Fitting子群的极小子群及Sylow子群的某些极大子群对群结构的影响。 全文的主要部分分为两个部分,具体安排如下: 第一章,介绍本文的历史背景及发展状况。 第二章,回忆苗龙、郭文彬在文《某些准素群F-s-可补的有限群》(Comm.in Algebra,2005,Vol.33,No.8,2789-2800)中首次引入的F-s-可补概念: 定义1 设F是一个群类。群G的子群H在G中称为F-s-可补的,如果存在G的子群K,使得G=HK且K/(K∩H_G)∈F,其中H_G=∩_(g∈G)H~g是包含在H中的群G的最大正规子群。此时K也称为H在G中的一个F-s-补。特别地,H在G中称为超可解-s-补的,如果存在G的子群K,使得G=HK且K/(K∩H_G)超可解。类似的,H在G中称为p-幂零-s-补的,如果存在G的子群K,使得G=HK且对于某个素数p,K/(K∩H_G)是p-幂零的。 我们知道超可解-s-补子群和补子群是不同的。 一方面,超可解-s-补子群不是补子群。 例如:设G是阶为p~n的循环群,其中n>1。易知G是超可解的,G有唯一的极小子群X且X在G中是超可解-s-补的。但X在G中是不可补的。 另一方面,补子群不是超可解-s-补子群。 例如:设G=Z_5×S_4。易知Z_5在G可补。但S_4/Z_5∩S_4≌S_4不是超可解的。 本章讨论部分子群的极小子群超可解-s-可补的有限群的结构,主要是利用Fitting子群F(G)取代原来的G,推广了原有的已知结果。进而再用广义Fitting子群F~*(G)取代Fitting子群F(G)的方法,将结论中的‘可解性’的假设去掉,于是得到一系列有限群结构的刻划,最后利用Formation理论将上述结果作进一步的推广得到如下新结果:


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