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两类差分方程的全局性质

赵斌  
【摘要】:差分方程(或递归序列)被看作是微分方程及延迟微分方程的离散化和数字解,在经济学、生态学、生理学、生物学、物理、工程、神经网络、社会科学等方面有着十分广泛的应用。对差分方程的研究就是讨论它的解的最终性态,包括振动性、循环长度及全局渐近稳定性等。本文主要研究两类非线性差分方程的全局性质。 在第一章,我们简要介绍了差分方程的历史背景、发展现状以及与本文相关的一些已知结果。 在第二章,我们考虑非线性差分方程 x_(n+1)=(f(x_n,x_(n-1),…,x_(n-k+1))/x_(n-k),n=0,1,…, 其中k∈{1,2,…},研究了该方程在一定的条件下的解的振动性和循环长度,推广并改进了已有的相关结果。 在第三章,我们研究高阶非线性差分方程 x_(n+1)=(P_k(x_(n-i_0),x_(n-i_1),…,x_(n-i_(2k))+b)/(Q_k(x_(n-i_0),x_(n-i_1),…,x_(n-i_(2k))+b),n=0,1,…, 其中b∈[0,∞),k≥1,i_0,i_1,…,i_(2k)∈{0,1,…}且i_0<i_1<…<i_(2k),初始值x_(-i_(2k)),x_(-i_(2k))+1,…,x_0∈(0,∞),P_0(x_(n-i_0))=x_(n-i_0),Q_0(x_(n-i_0))=1;P_j(x_(n-i_0),…,x_(n-i_(2j)))=(x_(n-i_(2j))x_(n-i_(2j)-1)+1)P_(j-1)(x_(n-i_0),…,x_(n-i_(2j)-2))+(x_(n-i_(2j))+x_(n-i_(2j)-1))Q_(j-1)(x_(n-i_0),…,x_(n-i_(2j-2)),Q_j(x_(n-i_0),…,x_(n-i_(2j)))=(x_(n-i_(2j)x_(n-i_(2j-1))+1)Q_(j-1)(x_(n-i_0),…,x_(n-i_(2j)-2))+(x_(n-i_(2j))+x_(n-i_(2j-1)))P_(j-1)(x_(n-i_0),…,x_(n-i_(2j-2))),(?)1≤j≤k。我们得到了该方程的若干性质,并证明了它的平衡点是全局渐近稳定的。


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