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KL分位数估计的大样本性质

王章俊  
【摘要】:分位数估计是统计学中一个重要研究课题,它在许多域领有广泛应用,尤其是在金融风险管理中分位数更是重要的风险量,如价值风险量VaR(Value at Risk)和条件价值风险量CVaR(Conditional Value at Risk).人们知道,价值风险量VaR被定义为在给定概率水平下的最大损失量,其实价值风险量VaR就是收益变量或损失变量在给定概率水平下的分位数,条件价值风险量CVaR就是在损失大于VaR的条件下的平均损失量.因此,价值风险量VaR和条件价值风险量CVaR都直接与分位数相关,所以研究分位数估计是十分重要的. 分位数估计方法分为参数估计和非参数估计两种方法.参数估计需要先假设收益的分布,再建立相关模型;而非参数估计则不需要假定样本的总体分布,是一种现代常用的估计方法.目前已有很多研究学者对分位数(或VaR)的非参数估计进行了深入研究,如样本分位数估计,加权次序统计量分位数估计.本文将主要讨论Kaigh-Lachenbruch分位数估计,简称KL分位数估计,它是Kaigh and Lachenbruch于1982年提出,其定义为 Kaigh and Lachenbruch(1982)利用U-统计量的性质证明了KL位数估计的渐近正态性,并进行了数值模拟比较分析.Kaigh(1983)在总体存在二阶矩的条件下证明了KL分位数估计收敛于V-统计量,从而证明KL分位数估计的渐近正态性.Steinberg(1983)也在总体存在二阶矩的条件下证明了其渐近方差和渐近正态性,并讨论了子样本容量k的选取问题.Steinberg and Davis(1985)对p=0.5进行数值模拟,结果表明KL分位数估计比Bootstrap估计方法和Harrell-Davis估计方法都要好.Zielinski(2006)在n=10和均匀分布的情形下,通过数值模拟的方法讨论了KL分位数估计中子样本容量k的最优选择方法.Ramanathan(2009)将KL分位数估计运用到金融风险VaR估计领域,通过实际数据对多种VaR估计进行比较分析,发现KL分位数估计作为VaR估计有较好的表现. 综观学者们对KL分位数估计的研究,我们可以发现有一些问题仍值得进一步研究:(1)对KL分位数估计的收敛性质,目前只证明了收敛性,没有给出收敛速度;(2)目前还没有文献研究KL分位数估计的Bahadur表示;(3)对KL分位数估计的数值模拟分析不够全面,存在局限性.如对样本容量只考虑二种情况(n=10,100),对概率水平只考虑大概率p∈[0.05,0.95],没有考虑比较小的概率水平(p0.05)的情况. 因此本文将对上述问题进行研究,具体研究内容如下: 第二章,介绍U-统计量和KL分位数估计的定义,证明KL分位数估计的渐近无偏性、均方相合性、r-阶矩相合、强相合性及渐近正态性,并且给出其收敛速度. 第三章,讨论KL分位数估计依概率收敛的Bahadur表示及其收敛速度,并通过Bahadur表示给出了其渐近正态性和置信区间估计. 第四章,对KL分位数估计进行了数值模拟和实证分析,讨论子样本k的取值,并且与传统的SQ样本分位数估计进行了比较分析,随后将KL分位数估计运用于桂林三金和桂林旅游两只股票的VaR估计中,结果说明投资桂林旅游的风险要大于投资桂林三金的风险. 本文的研究具有如下特色: (1)给出了KL分位数估计的收敛速度.Kaigh and Lachenbruch(1982)、Kaigh(1983)、Steinberg(1983)等学者在研究KL分位数估计的收敛性质时,只证明了收敛性,没有给出收敛速度,而本文第二章定理2.2.2、定理2.2.3和定理2.2.4给出了KL分位数估计的均方相合性、矩相合性和强相合性的收敛速度. (2)证明方法有所改进.目前对KL分位数估计的理论研究,主要是基于KL分位数估计是一个U-统计量,直接套用U-统计量的相关性质,得出其相合性和渐近正态性.而本文采用了不完全相同的证明方法,如在证明均方相合性和渐近正态性时,本文是采用了Hajek映射方法以及Bahadur表示方法. (3)对KL分位数估计首次证明了其Bahadur表示.目前还没有文献研究KL分位数估计的Bahadur表示,本文第三章借鉴YangW(1985)证明密度核估计Bahadur表示的方法和Wei atal[8](2010)证明核分位数估计的Bahadur表示的方法,证明了KL分位数估计的Bahadur表示,这是一个新的结论,并由此结论给出了KL分位数估计的渐近正态性和置信区间的估计. (4)对KL分位数估计进行更加全面的数值模拟分析.如前所述现有文献虽然对KL分位数估计进行了数值模拟分析,但不够全面,有很大的局限性.因此本文第四章是对多种分布(正态分布,t分布,均匀分布,指数分布,逻辑斯特分布),多种样本容量(n=100,200,300,500,1000)和更宽概率水平范围(p∈[0.01,0.9])进行数值模拟分析,分析结果显示KL分位数估计有较好的估计效果.


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