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一类卷积型非线性积分方程的解的研究

林玉凤  
【摘要】:我们研究积分方程的解,常常研究的是解的存在唯一性,也有相当一部分研究解的渐近行为.解的存在唯一性定理是常微分方程理论中最基本的定理,而研究方程解的渐近行为更确切地说是研究该方程的单调解.近年来国内外许多数学家致力于这方面的研究,在2008年O.Lipovan研究了一类非线性积分方程解的存在唯一性,并在2014年讨论了其解的渐近行为.本文主要在O.Lipovan的基础上进行推广,用类似的方法,研究更一般的一类卷积型非线性积分方程在p≥1时解的存在唯一性及其渐近行为,得到如下研究成果:第一部分,我们研究方程解的存在唯一性.考虑这样一类非线性积分方程,函数Φ及L(t)和P(t)为方程中所涉及到的三个函数,假定函数Φ满足我们所设定的三个条件,这些假设确保了函数Φ严格单调递增及其逆映射Φ-1:[0,∞)→[0,∞);这里L(t)和P(t)为[0,∞)上的两个连续正函数,其中P不恒为零,这确保了L(t)和P(t)连续可微,p≥1而u(t)为未知函数.在这些假设条件下,我们对所推广的方程的解的存在唯一性进行研究.利用Schauder不动点定理和相关引理证明了在p≥1时方程存在唯一非负解.第二部分,我们主要研究方程的解的渐近行为.为了确保函数西及其逆映射Φ-1都是单调的,故而同样假定函数Φ满足三个条件;L(t)和P(t)为[0,∞)上的两个连续正函数,且P不恒为零,u(t)为未知函数.在这些条件下利用数学分析的相关知识和反证法,我们证明了若P为非减函数且当p≥1时如果有L’(t)与U0P)(t)的和小于零成立,则方程解有如下解的渐近行为,即u(t)在[0,∞)上严格减;而如果P为非增函数,当p≥1时,有L'(t)与U0P(t)的和大于零成立,则u(t)在[0,∞)上严格增.


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