动力系统中的回复运动

【摘要】：回复是动力系统的重要研究课题,在研究动力系统稳定性讨论中有重要地位. 国内外的许多专家学者, 例如Nemytskii, Stepanov, Bhatia, Szego 等人, 对这种运动进行了广泛的研究,得到了许多重要的结果. 目前,回复仍然受到国内外学者的广泛关注. 本论文也是对回复运动作了进一步的研究. 本文的主要内容分别在三、四、五节中讨论. 第三节讨论了Lyapunov 稳定性和Poisson稳定运动之间的关系,得到了几个有关Poisson稳定运动和周期性的结果. 在一定程度上推广了[1]中的结论. 主要结果有两个,一个是如果X 是局部紧的Hausdorff 空间,设x∈X是正向Poisson稳定的且它不是一个周期点,则集合ω(x)-γ(x)在ω(x)内是稠密的, 即ω(x)-γ(x)=ω(x) =γ(x). 另一个为如果动力系统(X,R,π)是Lyapunov 稳定的,设P(?)X中的每一个点,或者是正向Poisson稳定的,或者是负向Poisson稳定的,则P 内的每一点是Poisson稳定的. 第四部分主要是对周期点和近周期点之间的关系进一步研究,给出了周期和近周期等价的条件,而在[6]中给出了在Lipschitz 稳定的情况下,周期性能推出近周期性,反之,不成立. 另外,我们还得到了一个有关近周期的结论. 主要结论为如果动力系统( R~n, π)(n 2)在点x是渐近Lyapunov 稳定的,则点x为周期点(?)点x为近周期点. 另外一个是若动力系统(X ,π)在γ~+( x)上为正近周期的,则γ~+( x)上的每一点为回复的. 第五部分主要是讨论动力系统的Lyapunov 稳定性与吸引性之间的关系,给出动力系统中弱吸引性、吸引性和一致吸引性这三个概念相互等价的条件. 在一