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关于离散动力系统的周期轨道

王建军  
【摘要】: 本文讨论了一阶线性差分方程和非线性差分方程组的带有时滞反馈的差分方程系统的周期解的存在性。获得了一系列新的结果,推广了离散动力系统的差分方程的相关结论。本文由三章构成。 第一章简述了问题产生的历史背景和本文的主要工作。并说明本文工作的理论意义和实际价值以及理论的来源。 第二章讨论了描述单个神经元的动力学行为的差分方程其中β是内部衰变率,g是具有McCulloch-Pitts非线性的信号函数。当β∈(1,∞)时,可以得到以下定理和推论。 定理2.1设β∈(1,∞),那么方程(1)有一个不动点βσ1,且有周期为2的周期解( )Oβσ+ 1和周期为4的周期解O (σβ(β2++ 11))。假如存在正整数k使得β2 k 2β2 k2 + 2β2 1≥0,那么方程(1)有周期为2k的周期轨道。 定理2.3设β∈(1,∞), k∈N(1),那么当且仅当β2 k +1 2β2 k1 1≥0时,方程(1)有2k+1的周期解。 推论2.4如果β2 k 2β2 k2 + 2β2 1≥0成立,那么方程(1)有2 k ,2 k 2, ,4,2为周期的周期轨道。如果β2 k +1 2β2 k1 1≥0成立,那么方程(1)有2 k + 1,2 k+ 3,为周期的周期轨道。所得到的定理比[3,4]中相应的定理更强。 第三章讨论了描述两个相同神经元相互作用的离散动力系统其中β∈(0,1)是内部衰变率, f是信号发射函数,k是信号发射时滞。系统(2)可以看作具有时滞反馈的两个神经元的人工神经网络系统的离散情形, dxdt和ddyt分别表示前向差分算子x ( n + 1) x ( n)和y ( n + 1) y ( n),通过代数方法,得到一个定理。 定理3.1当β∈(0, 12]和σ (11 +ββ) 2( 1k + 3β22 kβ+3)时,存在Φ0 = ( 0 ,φ0 )∈Xσ+,+,那么上述方程的以Φ0为初值的解0 0{ xΦ( n ), yΦ( n)}具有4(k+1)的最小周期解。而且存在正整数m,使得对于任意的Φ= ( ,φ)∈Xσ,有和


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