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常微分方程的动力学行为及符号动力学分析

裴启明  
【摘要】: 二十世纪五十年代以来,非线性科学得到了迅速的发展.随着研究工作的不断深入,它的内容也在不断扩大,现已渗透到神经网络、元胞自动机、复杂网络等多个新型研究领域.探讨非线性系统尤其是那些已研究得很多的系统(如Lorenz系统)中的新现象是一个很有意义的课题,有助于丰富非线性科学知识的内容,深化对非线性科学的认识. 目前,非线性科学的主要研究方法是数学解析、计算机模拟或具体的实验.由于混沌现象的复杂性,新现象、新属性和新规律的探索必须要有新的研究手段.将符号动力学知识运用于非线性科学的研究是一个突破口.利用这种方法可以获取许多单纯借助分析或数值方法不能得到的整体性的结论. 基于以上两个方面,本文对有关非线性系统的动力学行为及符号动力学进行了探索,主要包括以下三个内容: 1.内分岔参数空间中Lorenz系统的动力学行为研究.在常微分方程系统中,不动点的性质对系统的全局行为影响很大.把不动点的一些分量作为内参量并和原来的有关参数一起构成相应的参数空间.在此空间中,通过不动点的变化可以对Poincare映象所表现的系统的动力学行为进行研究.根据这个思想,我们建立了此新的参数空间——内分岔参数空间并在该空间下在较大范围内选择不同的参数对Lorenz系统进行数值计算,发现了一股混沌现象之外的其它新的共存类,如不动点与周期轨道或混沌吸引子的共存;周期轨道与局部混沌或通向混沌的倍周期分岔序列的共存等等.这些新现象的发现补充和完善了前人对Lorenz系统的研究,为我们今后的工作开辟了一条新的思路. 2.内分岔参数空间中Lorenz系统的符号动力学研究.符号动力学是一种拓扑与数值相结合的研究方法.我们在内分岔参数空间下对Lorenz系统进行了一维和二维的符号动力学分析,给出了长度直至6的所有允许周期轨道序列及相应的位置坐标.此前,导师刘军贤教授已对原参数空间下Lorenz系统作了详细的符号动力学分析.然而,在此新参数空间下,我们能找到很好的控制参量使Lorenz系统的二维特征更明显,从而符号动力学分析中的基本禁止区更直观.更重要的的是,虽然内分岔参数空间下x~*=3.0,z~*=17.0时,混沌吸引子的Poincare映象的形状与原参数空间下r=28时的一样,但仔细做流型分析可知前者存在正逆收缩叶,其切点的连线可以对相应的相空间进行分割,出现建立四个字的符号动力学,而不是通常只需要两个字的符号动力学.当然,更简洁的方法是看两者的交换首归映射.两种情形下的交换首归映射明显不同,导致相空间出现新的分割,从而符号序列描述中字母的个数也不同.这一新的发现,突破了前人认为类似原参数空间下r=28的全局混沌吸引子只能用两个字描述的观点.更特殊地,对于Poincare映象仅在第一象限的局域混沌,即x~*=2.0,z~*=25.3时,相空间仍可以分割为两部分,必须建立两个字的符号动力学,从而找到了存在于单峰映射中的MSS序列.这是前人的研究中没有发现的. 3.新的混沌系统的动力学行为研究及其符号序列排序规则.自1963年Lorenz发现了第一个奇怪混沌吸引子后,非线性系统的混沌动力学之研究至今已非常全面、深入,尤其是近年来混沌的控制与运用引起了许多研究人员的兴趣.1999年Chen利用混沌反馈控制法成功实现一个新的系统-Chen系统.它与Lorenz系统具有相同的非线性项,但并不拓扑等价.2002年,Lu和Chen同样利用混沌反馈控制方法提出Lu系统,该系统给Lorenz系统和Chen系统之间架起了一座桥梁.2004年,Liu等人提出了Liu系统.对其受控系统的研究发现蝴蝶吸引子的复合结构是由两个简单的吸引子经过镜像操作后融合而成.我们在Liu系统的第三式增加一个交叉乘积项而构造一个新的混沌系统.该系统的非线性项较多,在过其非平庸不动点的Poincare截面上混沌吸引子的结构丰富,其二维特征往往较Lorenz系统明显.对其受控系统进行初步的二维符号动力学分析,我们发现虽然此系统与Lorenz方程的Poincare映象存在许多细节的不同,但两系统符号序列的排序规则却是相同的,体现了符号动力学拓朴性的本质.


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