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ss-半置换子群对有限群结构的影响

玉素贞  
【摘要】: 称有限群G的子群H在G中ss-半置换,如果存在G的子群B使得HB=G,且HR=RH.其中R∈Syl_p(B),(|H|,p)=1.这时,也称H为G的ss-半置换子群. 本文结合有限群的某些特殊子群(如,极小子群,Sylow子群,Sylow子群的极大子群)的ss-半置换性来研究有限群的幂零性,超可解性,得到了有限群幂零,超可解的若干充分条件,推广了若干文献的一些相关结果. 根据内容本文分为以下三部分: 第一部分主要介绍本文所涉及问题的研究背景,对s-半置换子群与ss-半置换子群之间的关系进行了讨论,并且给出了一些基本定义和引理,应用这些引理我们得到关于ss-半置换子群的一些性质和定理. 第二部分主要利用某些子群的ss-半置换性得到了有限群p-幂零的一些充分条件,推广了相关文献的一些结果。主要结果如下: 定理2.1.1设G为有限群,p为奇素数且p∈π(G),P是G的Sylow p-子群.如果N_G(P)是p-幂零的并且M_d(P)的任意元在G中ss-半置换,那么G是p-幂零的. 定理2.1.4设G为奇阶群,p是有限群G的最小素因子,P是G的Sylow p-子群.如果M_d(P)的任意元在G中ss-半置换,则G是p-幂零的. 定理2.1.7设p为|G|的最小素因子,P是G的Sylow p-子群.若P的任一2-极大子群在G中ss-半置换,且G与A_4无关,则G是p-幂零的。 定理2.1.9设G为有限群,p为|G|的素因子,(|G|,p~2-1)=1.若存在N(?)G,使得G/N是p-幂零的,且N的p~2阶子群在G中ss-半置换,则G是p-幂零的. 定理2.1.16设G为有限群,N(?)G,G/N是p-幂零群.若N的每个p阶子群含于Z_∞(G),4阶循环子群在G中ss-半置换,则G是p-幂零群. 第三部分结合Sylow子群的极大子群和极小子群的ss-半置换性,得到有限群超可解的若干充分条件.主要结果如下: 定理2.2.2设G为有限群,H(?)G,G/H超可解.如果H的任一Sylow子群的每一个极大子群在G中ss-半置换,则G是超可解群. 定理2.2.3设G为有限群,H(?)G,G/H超可解.若F(H)的Sylow子群的极大子群在G中ss-半置换,则G是超可解群. 定理2.2.4设G为有限群,H(?)G,G/H超可解.如果H的极小子群及4阶循环子群在G中ss-半置换,则G是超可解群.


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