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分数阶微分方程组数值算法研究

张万鹏  
【摘要】:分数阶微分方程组是由含有分数阶导数构成的一类方程。近年来,随着分数阶微分方程越来越多的被用来描述热力学、粘弹性力学、声学、电化学、流变学、分形等众多领域。从分数阶的发展历史过程中,它不仅显示出深厚的研究背景和良好的应用基础,而且还拥有非常广阔的发展空间。因此,对分数阶微分的理论,性质和求解方法的研究就显得更加重要,它为其进一步的研究打下了坚实的基础。 本文研究的主要内容如下: ①分数阶微积分理论研究。介绍了分数阶微分相关理论基础,对分数阶微积分的各种定义和关系以及基本运算性质,并将分数阶微积分和整数阶微积分做了详细的比较。 ②“高阶”分数阶微分方程转换成“多变量”分数阶微分方程组,并用例子说明高阶分数阶微分方程组转化成多变量分数阶微分方程组。把一般形式的分数阶微分方程解的存在和唯一性问题转化为“多变量”分数阶微分方程组解的存在和唯一性问题,通过多变量微分方程的存在唯一性来说明高阶分数阶微分方程组的存在唯一性。 ③分数阶微分控制系统研究及仿真。在不含时滞的二元分数阶控制系统方程组里,阶数为不同分数的情况下,运用G-L定义,结合数值迭代思想,求出这个系统的数值解,然后证明这个系统是收敛的。在带时滞的二元分数阶控制系统方程组,阶数不同的分数情况下,方程组里含有时滞τ,利用步长h对时滞τ进行分割,运用G-L定义,结合数值迭代的思想,求出这个系统的解,然后证明这个系统是收敛。在多元不带时滞的分数阶控制系统里面,把多元分数阶方程组转化成矩阵方程组,构造出迭代格式,求出这个分数阶系统的数值解,然后证明这个数值解法是收敛的。在多元带时滞的分数阶控制系统,对系统里面的变量τ进行分割,把系统转化成矩阵方程组,再构造成迭代格式,求出这个分数阶系统的解,并对解是收敛进行证明。对所有系统的解用MATLAB软件来进行仿真。


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