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非线性分数阶微积分方程组解的存在唯一性及稳定性

罗玉文  
【摘要】:分数微积分不是求分数的微积分,也不是传统微积分(微分、积分和变分)的一部分,实际上它是求任意阶导数和积分的一门学科.它的出现已有300多年的历史,但在过去很长时间里,由于缺乏实际应用背景而发展缓慢.近几十年,许多工程人员指出,分数阶微积分非常适用于用于描述各种物理、化学材料的性质,诸如,聚合物.它被证实为是非常有用的.在现实中,应用科学家和工程师认识到分数阶微分方程为用分数阶方程建模的各种问题的讨论提供了自然框架,如粘弹性系统,电极—电解质极化作用,电化学,信号处理,扩散过程,控制过程等等.由于在科学和工程中应用中的潜力,分数阶微积分系统的研究吸引了越来越多的注意和兴趣.众所周知,稳定性判断是控制系统中的至关重要问题,一直是个开放问题,数值仿真实验研究是检验结果和减少成本的一条重要途径,本文探索非线性分数阶微分方程组解的存在唯一性以及用Lyapunov直接法寻找非线性分数阶系统的稳定性判据. 论文由四章组成.第一章主要回顾了分数阶微积分的发展历史.第二章介绍了分数微积分的数学基础,包含伽马函数、贝塔函数和Mittag-Leffler函数的基本定义及其性质,在此基础上介绍了几种常用分数微积分的定义,Grünwald-Letnikov,Riemann-Liouville和Caputo分数阶微积分定义,并介绍了它们的一些常用性质,各种定义间的相互关系,并比较了分数微积分与整数微积分的不同. 接下来,在第三章中,运用不动点原理和全局压缩映射原理讨论了非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性.得到结果推广和改进了现有文献一些结论.第四章,介绍了非线性分数阶动态的Mittag-Leffler稳定和广义的Mittag-Leffler稳定性定义,并且研究了它的一些有意义的性质.然后在Matignon、Podlubny等人对分数阶系统的稳定性问题的研究结果基础上,采用Lyapunov直接法探索一般非线性分数阶控制系统的稳定性判据,拓广了分数阶理论在非线性控制系统的运用,丰富了分数阶微分动力系统的理论. 最后,论文使用MATLAB/SIMULINK软件工具,对研究得到的稳定性判据进行计算机仿真,从而检验了研究结果的有效性.


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