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紧积分算子特征值的数值方法的若干研究

宣丽凤  
【摘要】:文章是对求解紧积分算子特征值的三种数值方法进行了研究,目的是在实际的计算中能够明确的知道选择哪种数值方法使得问题的研究更加简单易行.本文使用的研究方法是阅读法和试验法,在阅读大量前人的论文并且通过试验的基础上撰写文章.全文共分为四章,其中有两章主要是对求解紧积分算子的特征值问题进行数值方法的研究,以及对文章描述的数值算法进行试验.一个章节的内容是构造了新的求解积分算子特征值问题的数值方法,且讨论了该方法的收敛性.文中所使用的三种数值方法均利用了多尺度Galerkin空间和小波基函数的性质.如果把Galerkin方法和本文阐述的数值方法相结合,通过比较可知在相同的条件下,文中所描述的数值方法在求解紧积分算子特征值问题上可以更精准、更快速的得到数值结果.本论文一共包含四章的内容:第一章,主要是综合地阐述了文章的应用背景条件和发展前景、本文的主要工作、本文后面三章所使用的一些基础知识和符号所代表的含义.第二章,主要是在已有的高斯赛德尔迭代和Jacobi迭代理论方法的基础上,利用多尺度Galerkin方法来更新高斯赛德尔迭代和Jacobi迭代的数值方法.利用数值算例可以充分地证明这两种方法的可行性.第二小节介绍了快速多尺度迭代的理论框架,第三小节介绍了快速多尺度Galerkin方法,第四小节在前面三节的理论基础上证明了高斯赛德尔和Jacobi迭代法是收敛的,最后通过数值算例的实现证明本节理论知识的正确性.第三章,主要是利用已有的理论基础,重点阐述多层扩充算法的数值实现过程.第二小节主要阐述了特征值问题的多尺度Galerkin方法,第三小节的第一步主要描述小波函数的实现,第二步描述二重积分的实现,第三步是利用幂法对紧积分算子进行特征值和特征向量的求解.第四步描述了多层扩充算法的实现过程,它包括了紧积分算子的矩阵的分块和利用分块之后的矩阵写出多层扩充算法的算子和矩阵形式的特征值问题.最后给出了数值算例.通过数值算例的实现可说明该方法的最大优势是极大的简化了计算的复杂度.第四章,主要是构造了积分算子特征值问题的无网格方法.第一节我们描述了MLS逼近方法的理论知识和基函数的构造算法.权函数w(x,y)的参数x,y彼此远离,则权函数w(x,y)=0,说明权函数有可以大量简化计算的优点.第二节主要描述的是特征值问题中所要用到的一些基础知识.第三节是在第一、第二节基础上构造了一种新的求解紧积分算子特征值问题的数值方法,即无网格配置法.


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