有界度圆填充与共形映射

【摘要】： 作为共形映射的离散模拟的圆填充理论在复分析和离散几何的交叉学科中是一个快速发展的研究领域。近年来在这个领域所取得的成就起源于Fields奖得者Thurston于1985年提出的一个猜测,即Riemann映射可以用六边形圆填充来近似。不久,这个猜测被Rodin与Sullivan证明,这将圆填充与共形映射建立了联系,给共形映射提供了一个崭新的离散几何观点。自从那以后,出现大量的关于圆填充及其应用的研究。对圆格局的研究,从由其内部不相交的圆组成的经典圆填充发展到由其内部可以重叠的圆组成的圆模式。本文的主要工作如下:首先,应用有界度圆填充研究Riemann映射,将六边形圆填充的收敛性推广到有界度圆填充的收敛性。我们证明了有界度圆填充的一阶、二阶导数分别收敛于Riemann映射函数的一阶、二阶导数。而且给出了其收敛速度的估计。其次,我们应用SG圆模式的方法讨论了共形映射。对于给定从一个单连通区域到另一个单连通区域的共形映射f,我们应用SG圆模式的技术构造了它的近似解,对SG圆模式进行适当的规范化后,我们证明了这些近似解收敛于共形映射f。