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圆填充的刚性与离散边值问题

宋美玲  
【摘要】: 圆填充是具有特定相切模式的一种圆格局,其理论在复分析和离散微分几何的交叉学科中是一个快速发展的研究领域。近年来该领域研究所取得的成就,起源于Fields奖获得者W.Thurston在1985年提出一个猜测:六边形圆填充可用来近似共形映射。不久,B. Rodin与D. Sullivan证明了W.Thurston方案的收敛性,这将圆填充与共形映射建立了联系,给共形映射提供了一个崭新的离散几何观点。随后,出现大量的关于圆填充(或圆模式)及其应用的研究。本文的主要工作如下:首先,研究了Riemann球面上无限的无界度圆填充的刚性。应用环绕数和指标的技术,结合有限覆盖定理,我们证明了几乎填满整个Riemann球面且具有相同组合的无限的无界度圆填充对M¨obius变换来说是等价的。其次,研究散度方程的离散Dirichlet问题。基于区域的正则四边形分解,我们应用有限体积方法定义了散度方程的Dirichlet问题的离散解,按离散半范给出其离散解与古典解的误差估计,同时证明了这些离散解在L2-空间收敛于其经典解。


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