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圆填充与拟对称的离散逼近

高玉洁  
【摘要】: 圆填充是常曲率曲面上具有特定相切模式的一种圆格局。其理论在复分析和离散微分几何的交叉学科中是一个快速发展的研究领域。圆填充理论起源于费尔兹(Fields)奖获得者W.Thurston于1985年提出的一个猜测:六边形圆填充可用来近似Riemann映射。1987年B.Rodin与D.Sullivan证明了W.Thurston方案的收敛性,这给Riemann映射提供了一个崭新的离散几何的观点。随后出现了大量关于圆填充及其应用的研究。对圆格局的研究,由其内部不相交的圆组成的经典圆填充发展为其内部可以重叠的圆组成的圆模式理论。本文的主要工作如下:首先,已经知道无限无边界的单连通复形有两种基本类型,即双曲型和抛物型,其相应的圆填充分别填满双曲平面和欧式平面。本文主要讨论无限有边界的单连通复形K的情形,证明了在双曲平面内存在一个关于K的单叶圆填充P,在P中与K的边界顶点对应的圆是极限圆;这个圆填充P在允许其极限圆与单位圆周之间存在空隙的意义下是完备的;并且P对于单位圆盘的M¨obius变换来说是唯一的。其次,讨论了拟对称的离散近似。对于任一个由K-拟圆周诱导的拟对称,我们应用有界度圆填充的方法,构造了其近似映射,并证明了这些近似映射一致收敛于该拟对称。


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