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线性模型的最小方差估计问题

赵娟  
【摘要】: 在信号处理、控制和通讯等技术领域,常常使用线性最小方差估计和最优加权最小二乘估计对参数作出估计。卡尔曼滤波即是线性最小方差估计的递推形式。本文针对这种线性(观测)模型下的最小方差估计问题进行了深入讨论,指出这两种估计性能之间的关系及差别,从而为选择恰当的估计方法提供理论依据。 在一般线性模型(即输入矩阵为确定性)下,当两种估计都利用有关被估参数的先验信息时,二者在方差阵可逆的一定条件下可达到一致;当最优加权最小二乘估计不利用此先验信息时,存在二者一致的充分条件和必要条件,进而找到一种设计输入矩阵的方法,使得在先验信息缺乏的条件下,仍可利用最优加权最小二乘估计达到与线性最小方差估计一样优越的估计性能。利用所得结论,我们解释了一些特殊估计之间的关系。 更进一步,我们研究了推广线性模型(即输入矩阵为随机矩阵)下这两种估计的性能差异。在这种情况下,最优加权最小二乘估计变成关于观测和输入的非线性估计,且与线性最小方差估计不可比。因此,我们讨论了在相同已知信息的情况下,即最优加权最小二乘估计也利用有关被估参数的先验信息时,二者的估计性能。在方差阵可逆的条件下,我们发现最优加权最小二乘估计优于线性最小方差估计,进而得到了其与最小方差估计(即条件均值估计)等价的充要条件。 最后,我们讨论了卡尔曼滤波在实际中的应用,分析了多传感器反馈卡尔曼滤波融合的最优性,并且基于小波变换利用卡尔曼滤波对淹没在高斯白噪声中的分形信号进行了波形估计。


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