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多连通域上的解析函数空间及其算子

王晓峰  
【摘要】: 自从Brown-Holmas将Toeplitz矩阵用函数论的语言重新描述之后,关于Toeplitz算子的研究受到人们广泛的关注。或许由于它与函数论,控制论等许多学科有着重要和深刻的联系,人们在各种不同的方向上作了推广,包括单变量的Bergman空间与高维复空间上的Hardy空间与Bergman空间等多种情形。在单位圆上的Hardy空间与Bergman空间以及高维复空间中单位球上的Hardy空间与Bergman空间情形。关于Toeplitz算子的研究很大程度上得益于这些空间上的再生核理论,而在其他一些空间,如一般区域上的Bergman空间情形,人们难以写出再生核的具体表达式,因而其再生核的应用受到很大限制,事实上在一般的区域乃至流形上,Toeplitz算子理论远不象单位圆和单位球情形那样丰富。特别是复平面内一般区域包括圆环上的Toeplitz算子的研究尚不多见,且未形成系统的理论。 函数空间上的另一类重要算子之一是复合算子。由于这类算子与函数论有着天然的联系,而且许多函数论问题都可以通过复合算子转换成相应的算子论问题,因而逐渐受到人们的重视。有关这类算子的研究大体上可以分为有界性,紧性,谱性质,代数性质(如正规性,亚正规性)等几个方面。然而与Toeplitz算子及Hankel算子相比,复合算子理论远不是很成熟,待解决的问题还有很多。 本文从四个方面研究Toeplitz算子与复合算子的性质。 一、一般区域及Riemann面上的Toeplitz算子与复合算子。 1、Mihaila在[28]中提出:是否开Riemann面间映射诱导的复合算子可逆可哞寻到诱导映射可逆?本文首先给出了这一问题的一个否定回答,同时对一些特殊的Riemann面给出了这一问题的正面回答,主要证明了:(1)对于两个开Riemann面之间的解析映射,若初始空间是单连通双曲型Riemann面,则这个映射可逆的充要条件是它诱导的复合算子可逆。(2)从圆环到开Riemann面的解析映射可逆的充要条件是它诱导的复合算子可逆。(3)从去掉无限个洞的圆盘到Riemann面的解析映射,若它诱导的复合算子是Fredhlom算子,则这个映射是单射。 2、研究了Riemann面上平方可积解析一形式空间上的Toeplitz算子的性质,证明了:(1)圆环Bergman空间上具有本性有界符号的Toeplitz算子生成之代 数在该空间上全体有界线性算子空间中弱*稠密。(2)若Ri emann面上平方可积 解析一形式空间的维数不小于1,则具有解析符号的Toeplitz算子的谱等于其 符号函数值域的闭包。(3)若Riemann面上平方可积解析一形式空间的维数等于 无穷,且符号函数的值在紧集之外充分小,则对应的Toepl itz算子是紧算子。 (4)去掉无限个洞的圆盘上平方可积解析一形式空间上以连续函数为符号的 Toeplitz算子若是Fredh10m算子,则它的指标等于这个函数相对于原点的拓扑 度。(5)复平面中非空有界连通开子集上由具有连续符号的Toeplitz算子生成 的C*一代数之导子值域包含在紧算子代数中。 二、圆环上的Dirichlet空间及其算子。 本章主要证明:1、符号在C’(M)中的Toeplitz算子的本性谱等于符号 函数在M边界上的本性值域。符号在C,(M)中的Toeplitz算子生成的C*一代 数L的交换子理想C就是Dirichlet空间的紧算子理想K。且L/K同构于M边 界上的连续函数空间。 2、符号在H尸十口(M)中ToePI itz算子的本性谱等于符号函数在M边界上 的本性值域。 3、若符号在C’(M)中的Toepl itz算子是Fredlom算子,则它的指标等于 符号函数相对于原点的拓扑度。 4、圆环Dirichlet上的有界正算子是Shatten一1类算子的充要条件为它对 应的圆环Bergman空间算子在特定测度下绝对可积。 三、n维复空I’ed上Diriehlet空间上的Toeplitz代数。 我们证明:1、每个符号在c’(瓦)中的Toepl 1 tz算子生成的c*一代数的自同 构都会诱导n维复单位球边界上连续函数空间以一个拓扑度为1的同胚自映射为 符号的复合算子;反之亦然。 2、符号在c,(B。)中的ToePI itz算子生成的C*一代数的对偶空间中的元素 是一个乘法线性泛函的充要条件为存在n维复单位球上的赋值泛函与之对应。 四、Diriehlet空间上Toeplitz算子的Galerkin一Petrov方法。 1、渐近可逆问题。(l)符号在已(D)中的ToePI itZ算子可逆,则渐近可 逆。 2、Galerkin一Petrov方法。(l)渐近有限元法收敛当且仅当有限元法收敛。 (2) Dirichlet空间中元素的相关投影列与正常投影之差收敛到零。 3、具体的Gal erkin一Petrov方法。(l)以单位圆内的任意圆环内接正多边 形的定点为对应点列,则(L。,Pn)方法收敛当且仅当圆环的圆心为原点。(2)在 开线段(a,b)上选取配置点列使(L。,尺)方法收敛,则(a,b)是单位圆盘的直 径。


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