完备格的关系表示理论及其应用

【摘要】：近三十年来，由于计算机科学所引起的关注和数学若干领域所取得的重要进展，计算机科学和数学的交叉之研究，尤其是拓扑结构、格序结构、范畴结构等在计算机科学中的应用引起了人们的广泛关注。二十世纪七十年代初，Scott、Plotkin、Hofmann、Lawson、Keimel等人创建了连续格(domain)理论。从此，Domain的结构理论成为计算机程序的指称语义学研究的一个关键点。 无论从数学的角度还是从计算机程序指称语义学的角度而言，Domain理论研究的一个重要方面是尽可能地将连续格(domain)理论推广到更为一般的格序结构上去。上世纪八、九十年代，Gierz、Lawson、Bandelt、Erné、Huth、Jung、Keimel等人分别引入并研究了超连续格、广义连续格、Z-连续格(偏序集)和FS-格，它们属连续格(domain)最为成功的推广之列。1983年，作为连续domain和广义连续格的公共推广，Gierz、Lawson和Stralka等人引入了一类重要的domain—拟连续domain，其基本思路是将“点”与“点”之间的way below关系推广至“集”与“集”之情形。 本文的主要工作之一就是试图将拟连续domain理论推广至一般子集系统Z。我们从二个不同的途径较为成功地将拟连续domain理论推广至了一般的子集系统Z。 一个途径是基于Rudin引理和Gierz、Lawson和Stralka等人的思路。我们首先对一般的子集系统Z引入了Rudin性质，给出了它的映射式刻划，为推广拟连续偏序集的概念至一般的子集系统情形提供了基础。作为拟连续domain和Z-连续domain概念的公共推广，对一般的子集系统Z，我们引入了(弱)拟Z-连续domain的概念，讨论了它们的基本性质，证明了当子集系统Z满足一定条件时，拟Z-连续domain P上的Z-below关系Z具有插入性质，P上的Z-Lawson拓扑λ_Z(P)是T_2的，P可用Z-Lawson同态嵌入到某方体中；给出了Rudin性质及其映射式刻划在拟Z-连续domain方面的若干应用。此外，我们还讨论了Z-Scott拓扑σ_Z(P)的Sober性。众所周知，完备格L是广义连续格当且仅当L上的Lawson拓扑λ(L)是T_2的。对于domain情形，我们构造了一个domain P，其上的Lawson 拓扑双P)是T:的，但Scott拓扑a(P)不是sober的，从而p不是拟连续的. 拟连续domain理论推广的另一个途径是基于Heckmann关于拟连续domain 的拓扑式刻划.我们首先给出了拓扑空间(X，句之开集格(成口是超连续格的若干 刻划;对一般的子集系统Z，作为拟连续偏序集另一种不等价的推广方式，依拓 扑的方式引入了Z--拟连续domain的概念，证明了Z~domain尸是z--拟连续的当 且仅当尸上的Z--scott拓扑以P)在集包含序下是超连续格;从超连续的Sober性 这一角度给出了拟连续domain上Scott拓扑的一个描述:集X上的T0拓扑舀是超 连续和Sobe:的当且仅当在诱导序‘厂X是拟连续domain，且占刚好就是X上 Seott拓扑，即乒叮闭:讨论了Z--拟连续domain上Seott拓扑、肠wson拓扑的性 质，给出了Z--拟连续domain尸上的子Scott拓扑以P)之Sober性的一若干刻划;尸 赋予Z-Lawson拓扑斌P)是posPQc。;在较弱的集论公理系统zFDC。中，证明了 若Z--拟连续domain尸上的子Lawson开上集是Z--Scott开的，Z--Lawson开下集 是下拓扑开的，则(P，掩(P))为严格完全正则序空间，特别地，若拟连续domain尸 上的Lawson开下集是下拓扑开的，则尸赋予Lawson拓扑义(P)是严格完全正则 的，从而对较广泛的情形给出了Lawson如下一个公开问题的部分解答:连续 domain尸赋予Lawson拓扑元(P)是否为严格完全正则序空间?我们还引入了广 义超连续格的概念，并给出了它的若干刻划，特别是它与广义连续格的密切关 系. 综上所述，我们从三个不同的途径将拟连续domain理论推广至了一般的子 集系统Z. 值得指出的是，在较弱的集论公理系统ZFDC。中，本文给出了完全分配格 到单位闭区间【O，l]一类基本完备格同态的一个直接构造，其方法也适用于偏序 集情形.这一构造技巧有着多方面的重要应用. 本学位论文的另一主要工作是研究完备格的关系表示问题. 从格序结构的角度二元关系引起人们的关注最早源于Raney和Zarecki了的工 作.1953年，美国著名格论专家Raney证明了:若集X上二元关系p是幂等的， 则依集包含关系由p的像全体构成的完备格是完全分配格，即(。班‘均，二)为完全 分配格，其中。沫幻抓刀):Ag妈，剧卜扛。X:日。。A使(o，x)oP}.1963年· zareckii进一步证明了F述经典结果:集X上二元关系户是正则的当且仅当(中成均， g)为完全分配格.Zarecki下的工作引起了人们对正则关系的关注，这里可提到二 世纪七、八+年Markowsk丫Sehein和Bandelt等人的著名工作. 具有某些特殊性质的二元关系在Oomain理论的研究中有着重要的应用.事 实上，就连续domain而言，其最重要的性质之一是它上面的w夕夕bleow关系《具 有插入性质一982年，Seott给出了Seott domain的信息系统表示，它为Domain理 论提供了一个逻辑处理方式.信息系统对于理解指称语义和程序逻辑之间的关 系而言是重要的.在Scott信息系统中，存在着在token的有限子集之间的一个具 有自反性和传递性的二元关系卜(称之为一个。nlailment关系)，因而信息系统本质 上是一种具有自反性和传递?