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非对称狄氏型的Beurling-Deny公式与半狄氏型理论

胡泽春  
【摘要】:狄氏型(Dirichlet form)理论在经典位势分析与随机分析之间架起了一座桥梁,在位势论,马氏过程,Malliavin分析,量子场论等许多领域有着广泛的应用。对称狄氏型的Beurling-Deny公式在对称狄氏型与对称马氏过程理论里起到了重要作用,比如在考虑对称马氏过程的绝对连续性时,此公式就扮演了重要角色。它使我们更好地了解狄氏型的解析结构,这些解析结构与马氏过程的样本轨道性质有密切联系。虽然有一些数学家试图把公式推广到非对称情形,但迄今Beurling-Deny公式仍然只适用于对称情形。不论是从理论上,还是应用上考察非对称狄氏型的Beurling-Deny公式都有其重要性。本文讨论了非对称狄氏型与半狄氏型的分解问题,给出了一些结构性结果,这些结果可以看作是经典Beurling-Deny公式的推广,也可以看作是Lévy-Khintchine公式或者更广一点是Courrége定理在狄氏型或者半狄氏型框架下的推广;并讨论了一些相关问题。 首先我们讨论了正则非对称狄氏型的Beurling-Deny公式,我们证明可以构造E上与拓扑相容的距离ρ使得对任意a>0,任意u,v∈C_0(E)∩D(ε),我们有唯一的分解: 第三章我们为后面的讨论半狄氏型的分解准备一些位势论的工具,主要讨论了正则半狄氏型的有限能量积分测度。 第四章我们讨论了与正则半狄氏型相联系的Hunt过程的一些分析,得到了例外集与ε-例外集的等价性,ε-拟连续函数与q.e.精连续函数的等价性。得到了正则半狄氏型在开集上的部分仍是正则半狄氏型。 第五章我们讨论了半狄氏型的局部紧化与拟同胚,得到了与狄氏型框架下完全类似的结果。 本文最后一章讨论了拟正则半狄氏型的分解问题。在§6.1节我们建立了一个拟正则半狄氏型空间的积分表现定理(定理6.1.1),此定理在后面讨论拟正则 非对称狄氏型的Beurling一Deny公式与半狄氏型理论 半狄氏型的Be盯lin牙Deny分解时起到关键作用。互6.2节我们讨论了正则半狄氏 型的Beurling一Deny分解.利用虽6.1与吞6.2的结果以及第五章讨论的拟正则半狄 氏型的拟同胚,我们得到了拟正则半狄氏型的分解(定理6.3.1):对于v任D(句 及二任几(v),有 :(二,。)一/_.2(二(、)一。(x))。(、),(:二,己、)+关锐(X):(二)、(己x). J万K石\dJ名 另外,通过引进一个拟相容距离p,我们得到对于一个特殊核D(句。里所有元 素“,v及:0,我们有(见定理6.3.6) £(一,一£”,‘(一,+关(二,,)。二、二,‘:。(二,,)。,2(·(、,一(·,,·(、,了(“一“、, +尤·(X)·(·)、(d·). 关键词:非对称狄氏型,半狄氏型,Beurling一Deny公式,L‘vy一Khintehine公 式,Courr乙ge定理,S.P.V.可积,左强局部性,反vy过程,Hun七过程,扫除 函数,有限能量积分测度,£一拟连续,q.e.精连续,半狄氏型的部分,局部紧 化,拟同胚,拟支撑,积分表现定理,拟相容距离,核,特殊核,£一q.e.Lipschitz 函数。


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