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非自治无穷维动力系统和随机动力系统渐近行为研究

范小明  
【摘要】:在第一章中,比较了自治系统所决定半群的整体吸引子,非自治系统所决定过程的核截面和随机动力系统的随机吸引子三个概念之间的差异,找出了三者之间的相互关系,并阐述了从整体吸引子到随机吸引子的研究发展过程。 整体吸引子是无穷维动力系统理论中一个关键性的概念,是近三十年来数学和数学物理领域中的最重要的发现之一。核截面是吸引子在非自治系统中的推广。在第二章中我们讨论了整体吸引子和核截面的概念,研究了整体吸引子、核截面Hausdorff维数的估计方法,比较了二者概念之间的差异和方法上的异同。 在第三章中,利用核截面理论及其估计Huasdorff维数的方法,作者分别研究了具有依赖于状态的阻尼系数,具有非退化的Kirchhoff项,具有粘弹性项,具有线性记忆项等一系列非自治强阻尼波动方程,成功地证明了所对应过程核和核截面的存在性。重要的是给出了这些核截面的Hausdorff维数估计。特别地,具有线性记忆项的非自治强阻尼波动方程是带有时滞的系统,通过引进“历史空间”这一新概念,并在这一新空间上,顺利解决了系统核和核截面的存在性以及给出了其Hausdorff维数的一个估计,同时关于核截面稳定性的膨胀理论在此也作了研究。证明了 一类经过扰动的非自治强阻尼波动方程膨胀核截面的存在性和连 续性,结果表明这类柞自治强阻尼波动方程未扰动时拥有稳定的 核截面. 在第四章中,作者介绍了布朗运动在随机动力系统研究中必 须熟知的一些基本常识.给出了随机微分方程的一般概念.研究 了在随机动力系统中常用的Omstein一Uhienbeck过程.对随机微 分方程,特别是对随机偏微分方程,给出了其解存在唯一的一些 充分条件.研究了随机吸引子的概念并给出估计随机吸引子的 Hausdorff维数的相关定理. 在第五章中,作者通过一系列各种形式的变换,成功地得到 了三个具有不同白噪声的阻尼 Sine-Gordon方程随机吸引子的存 在性,并给出了对应随机吸引子的Hausdorff维数的一个上界.这 些成果在随机波动方程研一究领域中是新的,取得了一些进展. 关键词:无穷维动力系统,随机动力系统,丰群,过程,吸引子,核截面,脚胀, 随机吸引子,不变性,吸收集,一致渐近紧,Hausdorff维数,白噪声,布期运动, 维纳过程,Sobolev空间,Ban朗h空间,概率空间,口一代数.


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