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退化奇点的广义正常区域判别法及有关分岔

唐异垒  
【摘要】:定性理论在常微分方程的研究中是十分重要的,它是由常微分方程来直接研究和判断解的性质的理论。定性理论的思想已经逐渐渗透到其他数学分支。对二维系统特别是平面系统,定性理论的研究已取得丰富的结果。而对平面微分系统奇点的研究是这个理论的重要一环,其中较为复杂的是研究退化奇点的定性性质。 对于退化奇点定性性质的研究,人们已经找到了很多办法,比较常用的方法包括利用Briot-Bouquet变换来把复杂奇点打散成简单奇点的方法、Z-扇区方法及正常区域的方法。但是对于一些退化性较高的奇点来说,这些方法仍有局限性。例如,当一个多项式微分系统的最低次非零项的次数很高甚至是不给定整数的时候,就很难应用Briot-Bouquet变换。Z-扇区可以含多个特殊方向,因此有时不能确定某个特殊方向的轨道情况。正常区域不仅要求边界是直线而且不能是特殊方向,这也极大的限制了该方法的使用。在第二章我们发展了正常区域的思想,提出了广义正常区域的新方法,在上述方法不能使用的许多情形下可以用来分析退化奇点附近轨道的运动情况。而且,我们考虑的广义正常区域是一个拟扇形区域,它的边界没有限定是某个函数的零点分支曲线,就不存在确定边界的困难;广义正常区域内最多包含一个特殊方向,如果知道在这个区域内有轨道沿特殊方向连接奇点,则它的方向显然可以判定。此外,广义正常区域相对于正常区域有更少的限制条件,不要求扇形的边界是直线,甚至允许边界是轨道,事实上,正常区域仅仅是广义正常区域的特殊情况,这样我们的方法可以研究更广泛的一类退化奇点的定性性质。


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