非线性反应扩散方程的解的熄灭和支集收缩等性质

【摘要】： 反应扩散方程作为一类重要的抛物方程，来源于自然界中广泛存在的扩散现象。渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等理论都提出了此类方程。四十多年来，这类方程吸引了国内外众多的数学工作者，并且取得了巨大的成就。在适当的初边值条件下，许多学者对方程的解的性质作了大量的研究。特别地，对于由扩散项、吸收项、对流项、边界项，及其经由他们所形成的各种不同的耦合关系产生的非线性所导致的问题的解的奇性引起了众多学者的兴趣。本文将研究应用科学中提出的几类重要的非线性扩散方程的解的有限时间熄灭、支集瞬间收缩以及自由边界的整体存在等性质。 第二章中，我们将研究发展的p-Laplace方程的几类初边值问题的解的熄灭。对于具有非局部源或者局部源项的扩散方程的齐次Dirichlet边值问题，我们运用能量方法和新建立的比较原理，证明问题的解在有限时刻熄灭的充要条件。我们证明在快速扩散的情形下，如果扩散作用强于源的作用，那么在初值较小的情况下问题的解会在有限时间熄灭。并且在证明过程中，我们将得出熄灭时刻的上界估计。对于具有非局部源项的问题，我们还将建立解的局部存在性理论。最后我们研究发展的p-Laplace方程的在空间R~N上的Cauchy问题的解的熄灭。运用比较原理和构造上下解，证明问题的解熄灭的充要条件，揭示在Harnack不等式不成立时熄灭现象发生的一个临界指数，它表明了初值在远距离处的衰减性态对解的熄灭的影响。 在第三章中，我们将考察几类具有非局部源项和吸收项的抛物方程的Neumann边值问题。首先，对于具有内部吸收和边界源的情况，运用新建立的比较原理，我们将改进已有的关于熄灭的充分条件的结论，证明在源作用较强的情况下熄灭仍可能发生。其次，对吸收项分别在内部或者边界的情况，通过与已有的关于解的爆破的结论相比较，一方面，在具有内部吸收项的情况下，我们将证明，吸收比内部源的作用强时，问题的解可能会在有限时间熄灭。然而，在具有边界吸收项情况下，根据熄灭的定义，用检验函数法，我们将证明，解不会在有限时间熄灭，但是若边界吸收比边界源的作用强时，问题的解在边界上的取值将在有限时刻恒为零。 第四章中，我们考虑一类具有对流项和变化系数的抛物方程，并研究它的解的支集的瞬间收缩性质，即不管初值的支集如何，问题的解的支集可能在任何时刻都是紧的。这类具有对流项的非线性扩散方程，类似于著名的统计力学方程，具有重要的物理意义。我们先证明问题解的局部存在性和唯一性，并建立两个比较引理。其次，运用比较引理，通过构造上下解证明解的支集具有瞬间收缩性质的充要条件依赖于变化系数的性态。 第五章，我们考虑一类具有吸引项和变化系数的非线性扩散方程。这一方程描述了扩散过程中扩散系数依赖于未知量及其自身梯度。它是多孔介质方程与发展的p-Laplace方程的推广。由于依赖于空间变量的变化系数的作用，将出现与具有齐次系数的方程完全不同的性质。我们将运用能量方法以及一个迭代引理证明在紧初值的情况下自由边界的整体存在性，并且给出自由边界的估计。