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Ω-范畴序结构性质的研究

赖洪亮  
【摘要】: 设(Ω,Ω,I)是交换的有单位元的quantale.从范畴论角度来看(Ω,Ω,I)是一个小的完备的对称的monoidal闭范畴. (Ω,Ω,I)上面的enriched范畴简称为Ω–范畴. Ω–范畴为计算机程序语言的语义提供了量化的模型,从而成为量化domain理论中主要的研究对象.由于domain理论关心的是信息的逼近和收敛,所以在这个领域中,Ω–范畴的定向完备性一直备受关注.但是因为完备格Ω的结构远较仅有两个元的布尔代数2复杂,导致文献中出现了用不同方式描述的互不等价的定向完备性概念.本文的一个任务是用enriched范畴的Φ–余完备性理论,对定向完备性给出了形式上统一的描述. 因为(Ω,Ω,I)可以作为多值逻辑的真值表, (Ω,Ω,I)上的enriched范畴实际上可以看成一个Ω–值的序结构.很自然地,我们希望像经典的序结构理论那样,讨论多值完备性,连续性和完全分配性,这就是本文的又一个任务.因为多值序结构也是一种特殊的enriched范畴,我们可以使用范畴论方法对多值的序结构进行系统地研究.我们的主要目的是以伴随为工具,统一描述完备性,定向完备性,连续性,以及完全分配性等基本序结构概念. 需要特别指出的是,多值逻辑意义下的序结构理论并非只是经典的序结构理论的平行推广.事实上,由于完备格Ω的结构比仅有两个元的布尔格2远为复杂,很多经典偏序集中平凡的问题变得复杂.比如说对于tensor完备性,一个经典的偏序集是tensor完备的当且仅当它有最小元,然而在Ω–范畴中却难于找到这样简单的描述.又例如经典的完全分配格的对偶也是完全分配的,然而在多值序结构理论中这与真值表Ω的逻辑结构有着紧密的联系,我们证明了在Ω是完备剩余格的时候,每个完全分配的Ω–范畴的对偶范畴是完全分配的当且仅当Ω是Girard quantale,即Ω满足二次否定律.


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