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积分不等式的若干推广

王五生  
【摘要】: 尽管多数微分方程无法求出精确解,但是人们可以利用适当的不等式技巧对解的模进行估计。这样的估计可以证实解的存在性、唯一性、有界性、稳定性和不变流形等定性性质。这样的不等式就是所谓的积分不等式。自从两位数学家Gronwall和Bellman提出具有划时代意义的不等式以来,Gronwall-Bellman积分不等式及其离散形式在不断地得到推广。 欧阳亮在1957年为了研究二阶微分方程解的有界性,给出了左边是未知函数平方的积分不等式,这个不等式推广了Gronwall-Bellman的积分不等式。Defermos在1979年为了建立热力学第二定律与稳定性之间的联系,进一步把欧阳亮的不等式推广成被积函数是未知函数的一次项与二次项的和的积分不等式。Pachpatte推广了Defermos的积分不等式的离散化形式,推广后的和差分不等式右边的和号内包含两项,一项是未知函数的一次项,另一个是包含未知函数与一个非递减函数的复合函数的项。本文第二章进一步把Pachpatte的和差分不等式推广成带有时滞的和差分不等式,其中和号内是多项的和,和号内的每一项包含未知函数与一个不具有单调性的函数的复合函数。我们给出了不等式中未知函数的估计,并把所得结果用于研究时滞差分方程初值问题解的有界性与唯一性。 另一方面,Bihari在1956年把Gronwall-Bellman积分不等式中右边被积函数中的未知函数推广成未知函数与非递减函数的复合函数。Lipovan在2000年又把Bihari的积分不等式中的积分的上下限从自变量推广成可求导增函数,从而使积分不等式含有时滞。Agarwal等人在2005年又把Lipovan的积分不等式进一步推广成Gronwall类时滞积分不等式,其中积分号外的常数项推广成函数项,把两个积分项推广成多个积分项。Cheung存2006年把Pachpatte的一元积分不等式和Lipovan的二元积分不等式推广成二元时滞积分不等式,这个不等式的左边是未知函数的幂函数,右边是一个常数项与两个积分项的和,其中一个积分项的被积函数含有未知函数的幂函数,另一个积分项的被积函数含有未知函数与非递减函数的复合函数。本文第三章第一节在Cheung和Agarwal等人结果的基础上建立了一个具有时滞的Gronwall类二元积分不等式,与Cheung的不等式比较这个不等式把积分号外的常数项推广成二元函数项,把二个积分项推广成多个积分项,且不要求被积函数中与未知函数进行复合的函数具有单调性。为了克服没有单调性带来的困难,我们采用了单调化技巧,由已知函数构造出强单调函数序列(即,每个函数单调,且列中后一个函数与前一个函数的比也是单调函数)。为了说明未知函数估计的有效区域,必须确定在不同情况下给出的多个区域之间的包含关系,我们利用比较不同区域的边界条件得出了它们的包含关系。我们给出不等式中了未知函数模的估计,并把所得结果用于研究偏微分方程边值问题解的有界性、唯一性与连续依赖性。用我们的结果可以估计Cheung[Nonlinear Anal.,2006,64,2112-2128]的积分不等式中未知函数的模,也可以估计Agarwal等人[Appl.Math.Comput.,2005,165,599-612]的积分不等式中未知函数的模。Pachpatte在2002年建立了含四重积分的二元积分不等式,不等式中未知函数都是一次的。本文在第三章第二节推广了Pachpatte的结果,把Pachpatte的不等式右边的未知函数的一次项推广成非递减函数与未知函数的复合函数,给出了未知函数模的估计,把所得结果用来讨论积分微分方程解的唯一性与有界性。 本文在第四章第一节把[J. Math. Anal. Appl.,2006,319,708-724]中的不等式推广成一个新的和差分不等式,这个不等式和号外足一个非常数项,和号内包括未知函数与不具有单调性的函数的复合函数。我们给出了未知函数模的估计,并用我们的结果讨论了偏差分方程边界值问题解的有界性、唯一性和连续依赖性。第四章第二节把Pachpatte的关于未知函数是线性的和差分不等式推广成关于未知函数是非线性的一个具有四重和的和差分不等式,并用所得结果讨论了一类具有双重和的差分方程解的有界性与唯一性。 在动力系统中不变曲线起着重要作用。人们通过把一个动力系统限制在不变曲线上,可以把该系统简化成低微动力系统。在1997年Ng等人研究了具有逐段常数变量的二阶微分方程的不变曲线。司建国等人在2001年讨论了不变曲线的解析性,在不动点的特征值不在单位圆和特征值在单位圆上但满足Diophantine条件的情况下,证明了解析不变曲线的存在性,在2002年研究了另一个平面映射的解析不变曲线。最近研究不满足Diophantine条件的情况也取得其它一些结果。本文第五章讨论了非线性二阶差分方程的解析不变曲线的存在性问题,不仅讨论了特征值不在单位圆和特征值在单化圆上满足Diophantine条件的情况,而且讨论了特征值为单位根又明显不满足Diophantine条件的情况。


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