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几类非线性发展方程解的性质的研究

曾嵘  
【摘要】:发展方程一般是指包含时间变量t的偏微分方程,它们描述了物理和其他学科中的系统随着时间变化的过程,包含KDV方程,反应-扩散方程,以及来自流体力学中的方程等。这些方程描述了我们身边的许多自然现象。它们对于科学和技术的进步起着非常重要的作用。关于发展方程研究的中心问题是解的局部存在,以及非整体存在,我们称此类现象为解的爆破。同时关于发展方程的研究还包含下面的问题:特殊解的寻找,例如平衡解,行波解,自相似解,周期解;解的长时间行为等。本博士论文主要研究了几类非线性发展方程解的性质。 在第二章中我们研究了一类双重退化的抛物方程的初边值问题,在一定的条件假设下,我们给出了解在正能量下爆破的充分条件。同时运用微分不等式技巧,我们给出了解的爆破时间的上下界估计。 在第三章中研究了上面一类双重退化的抛物方程的柯西问题,并证明了第二临界指数的存在性,同时给出了解的渐进行为和生命跨度的上下界估计。 在第四章中,我们研究了上面的双重退化的抛物方程的爆破点集问题。对于爆破集和解在爆破点的爆破模式的研究是许多数学工作者感兴趣的研究方向,并一直是个难点,在本论文中,我们证明了在一定条件下,爆破集只包含原点,同时给出了爆破发生的时候,解关于空间方向的上下界估计。 在第五章中,我们研究了一类描述在外电场的作用下半导体中的非平衡过程的伪抛物方程。主要结果是给出了解在有限时间内爆破的充分条件。从物理的角度来看,解的爆破对应着电击穿现象。我们的技巧推广了Levine的凸方法,他的技巧不能直接用到我们的情形。特别地,我们得到了爆破时间的上下界估计。 在第六章中,我们研究了一类非局部波动方程的柯西问题,证明了解的局部存在性,给出了解整体存在和在有限时间内爆破的充分条件。 在第七章中,我们考虑了一类聚合方程的核函数的梯度的奇异性对解的存在和爆破的影响,将已有的结论推广到一类带分数阶扩散项的情形。


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