偏微分方程及其在图像去噪和分割中的应用

【摘要】：图像去噪和分割是图像处理和计算机视觉及其应用的最基本问题。在过去的几十年,基于常微分方程、偏微分方程的图像处理方法的研究变成了一个重要问题。本文的内容分为三个部分,第一部分主要讨论主曲率流驱动的图像去噪模型,第二部分讨论基于区域的活动轮廓图像分割模型,最后一部分讨论图上带有吸收项的p-laplacian解的熄灭和正性。本人的主要工作为第二章至第六章,其详细的内容如下: 在本文的第一部分(第二章),我们考虑最大、最小主曲率的加权平均作为扩散系数消去加性高斯噪声的图像去噪模型,该方法的主要优点是可以保持重要的图像特征,并且具有稳定和快速的数值算法。此外,与高斯曲率驱动的扩散模型相比,在信噪比和去噪图像的光滑性方面具有一定的优势。 本文的第三部分为第三章至第五章。首先,在第三章,我们提出了带有限制条件的CV活动轮廓模型用于二值图像分割问题。通过增加一个合适的限制条件,使得CV模型具有全局最优解,并且水平集函数可以初始化为任意的非零常值函数。通过变分原理,证明了改进的模型在限制的BV空间中全局最优解的存在唯一性。此外,我们也给出了一个有效的数值算法。最后,我们通过人工合成图像、自然图像(医学图像、遥感图像)的分割实例,验证了算法的有效性。 本文的第四章,我们考虑带有非线性反应项和满足Neumann边界条件的p -Laplacian方程的二值图像分割模型。通过Banach不动点定理,证明了该模型局部解的存在和唯一性。对于p = 1时,我们估计了能量(?)和(?)随着时间t的变化速率。此外,我给出了一个有效的数值算法计算该局部解。最后,我们通过人工合成图像和自然图像论证了算法的有效性,此外,对于不同的图像,我们还给出了该模型与改进的CV模型的计算时间对比。 本文的第五章,我们考虑带有正则项的Lee-Seo二值图像分割模型。正则项用于保证水平集函数的光滑性和减小水平集函数在期望的稳定状态的振荡,特别是在噪声水平较大时。进一步,我们给出了该进的模型的理论研究,通过变分原理,证明了修正的模型在BV空间中解的存在和唯一性,此外,基于模型的理论研究,我们还给出了一个快速的数值算法。最后,通过实验表明,在初始化水平集函数为较小的常值时,修改模型的速度要比Lee-Seo模型快两倍。 在本文的第三部分,我们将研究带有吸收项的离散p -Laplacian方程(?)的初边值问题,主要考虑解的正性和熄灭性质,对于0 q 1时,非平凡解在有限时间熄灭,而对于p≥2, q≥1且q≥p- 1,非平凡解保持严格的正性。最后,给出了在带有标准权重的简单图的数值实验。