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几类时滞非线性系统的稳定性分析及Hopf分岔

胡文峰  
【摘要】:非线性系统的动力学分析是控制理论研究的重要课题之一,动力学分析包含了极为丰富的内涵,并在不断地得到深化与充实。在数学描述工具上,一般使用的是微分方程(或差分方程,对应离散状态)。本文主要对三类重要的非线性系统,即:双向联想记忆神经网络(Bidirectional Associative Memory, BAM)和Hopfield神经网络以及改进后的计算机病毒模型(Susceptible-Infected-Removed-Antivirus,SIRA)展开了研究。对于前两类非线性系统,在综合考虑时滞、随机扰动与脉冲现象对系统稳定性影响的基础上,得出了确保系统全局稳定性的充分条件,且力求降低条件保守性;对于SIRA这一具有实际应用背景的模型,文中不仅研究了无病毒时系统的平衡点、正平衡点存在的阈值条件以及全局稳定性,而且分析了当时滞τ为分岔参数时Hopf分岔发生的临界条件,最后得出判定分岔方向、分岔周期解稳定性、振幅、周期等相关特点的计算式。具体来说,本论文主要涉及以下内容: ①研究了随机扰动下脉冲现象对BAM系统稳定性的复杂影响,利用推广的二阶Halanay不等式,得到一个确保脉冲下的BAM神经网络指数稳定性的充分条件。Halanay不等式的应用解决了通常难以找到合适的Lyapunov泛函这一难题,也使得Lyapunov泛函的选取大大简化; ②利用Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧,研究了在随机扰动下的脉冲时滞Hopfield神经网络的全局指数稳定性,最后得到的全局指数稳定条件不再要求脉冲间隔时间必须大于时滞,即去掉了关于脉冲发生频率的限制条件,从而拓展了定理的使用范围;此外结论不再对无脉冲时的原系统稳定性做任何要求,即当系统不稳定时,脉冲也能实现其对原系统的镇定作用,从而从另一个角度探索了脉冲对系统稳定性的影响; ③基于传染病模型,根据计算机病毒的特点,提出了改进后的SIRA模型,并运用动力学理论工具分析系统的稳定性和Hopf分岔产生的条件,且得到了判定分岔相关特性的计算表达式。


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