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几何纠缠和量子临界现象

刘金花  
【摘要】:近年来,计算机运算能力的不断提高和数值模拟算法的迅速发展,为研究量子多体系统提供了强有力的工具。这也使得量子多体系统的数值模拟得到了空前的发展,为我们研究量子相变和量子临界现象奠定了坚实的基础。 本论文主要研究一维有限量子系统的量子临界行为,在无限时间演化块算法(infinite time-evolving block decimation algorithm,简称iTEBD)[1]的基础上我们开发了一种高效地模拟一维有限量子系统的算法[2]。除此之外,基于单点基态保真度理论[3-6]我们还开发了一种用来求解单点几何纠缠的高效算法[7]。根据单点几何纠缠的有限尺寸修正项系数与边界共形场论中Affleck-Ludwig g因子之间关系[8],我们得到了边界共形场论中很难求解的Affleck-Ludwig g因子。 本论文中第一章是绪论部分,主要介绍了量子相变的概念、数值模拟算法的历史、量子临界现象以及研究量子临界现象常用的工具(保真度、约化保真度、普适序参量和纠缠等等)。 第二章详细介绍了两种新开发的算法,其中一种算法是用于模拟具有周期性边界条件一维有限量子系统的基态波函数的算法。另一种算法是用于模拟基态波函数的单点几何纠缠的算法。模拟基态波函数的第一个算法的代价正比于pχ3,其中, p是计算能量过程中保留的转移矩阵本征矢的个数,χ是辅助空间各键的截断维数。用于模拟单点几何纠缠的第二个算法的代价也是正比于pχ3,这里的p是求解最大保真度过程中的转移矩阵Eφ ψ的前p个最大本征值。 第三章,首先,我们对不同的量子模型分别选取了不同的工具定出了量子系统的临界点。有些模型是直接根据一维无限量子系统的单点保真度、约化保真度定出的临界点;有些模型是先根据冯诺依曼熵定出有限尺寸下的赝相变点,然后把赝相变点对系统尺寸外推到无穷大得到的热力学极限下的量子临界点。无论哪种方式我们定出的临界点的位置与已有结果均是一致的。其次,在临界点处,我们还确定了临界量子系统所属的普适类。众所周知,对属于同一量子普适类的临界模型,可以用同一套临界指数来刻画其临界行为。所以我们可以通过计算同一普适类下简单的量子模型来理解复杂模型的量子临界行为。 第四章,我们研究了四个量子伊辛普适类的自旋模型,分别是:铁磁-反铁磁海森堡模型,量子伊辛模型,奇偶键上耦合系数不同的自旋12的伊辛链和XYX模型。我们计算了这些模型的基态波函数的单点几何纠缠,并根据单点几何纠缠有限尺寸修正项系数与共形场论中的Affleck-Ludwig g因子的关系,求出了Affleck-Ludwig g因子,其结果与量子伊辛普适类Affleck-Ludwig g因子的精确值是完全一致的。模拟结果证明了伊辛普适类模型单点几何纠缠的有限尺寸修正项系数是普适的。 第五章,我们模拟了两个三态Potts普适类的量子临界模型的单点几何纠缠。同时,我们还计算了它们所对应的Affleck-Ludwig g因子,它们与精确值吻合的非常好,其相对误差均小于3.1×10~(-2)。这也证明了三态Potts普适类下单点几何纠缠的有限尺寸修正项系数是普适的。 第六章,对于自旋为1的量子临界XXZ模型和自旋为1的量子临界XXZD模型,在临界相[9-10],我们根据单点几何纠缠的有限尺寸修正项系数与Luttinger液体的紧致半径R之间的关系求出了这两个临界量子模型的紧致半径R。而紧致半径R的值在共形场论中是很难定出的。除此之外,我们还讨论了把单点几何纠缠扩展到高维的可行性方案。 另外,我们还关注了矩阵乘积平移不变性与Affleck-Ludwig g因子之间的关系。模拟的结果说明了单点几何纠缠有限尺寸修正项系数依赖于矩阵乘积态的周期这一性质是普适的。 第七章是本论文的主要结论以及后续研究工作的展望。


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