Signorini问题和渗流问题的数值模拟

【摘要】：本论文在第一章回顾了Signorini问题和渗流问题的发展历史和研究现状。在参考了已有研究工作的基础上，第二章提出了求解Laplace算子方程的Signorini问题的边界元投影迭代算法，第三章提出了求解弹性单边接触问题的边界元投影迭代算法，第四章提出了求解简化Signorini问题的投影迭代算法，最后在第五章提出了求解一类带自由边界的渗流问题的线性互补投影迭代算法。 由于Signorini问题的部分边界条件是以函数及其法向导数在一定的不等式约束下交替出现，且交替变化的位置是未知的，因此Signorini问题形成了一类特殊的椭圆边值问题。由于Signorini条件是定义在区域的边界上，所以边界元法很适合求解这类问题。对Laplace算子方程的Signorini问题以及与刚性体接触的无摩擦弹性单边接触问题，本文提出了基于不动点方程的边界元投影迭代算法，该方法适用于任意区域的Signorini问题。该方法通过投影迭代方式来满足Signorini边界条件，在每一步迭代过程中，用边界元方法求解一个混合椭圆边值问题。本文利用投影性质证明了算法的收敛性。这些算法具有计算简便和收敛速度快等优点。对于Poisson方程的Signorini问题将涉及到区域积分的问题，如果能找到Poisson方程的一个特解，本文则将问题转换为一个Laplace方程的Signorini问题来求解。如果非齐次项在区域上为调和函数时，本文则利用对偶互换法将区域积分转化为边界上的积分。 对于简化Signorini问题，本文同样提出了基于不动点方程的投影迭代算法。利用投影性质证明了算法的收敛性，然后给出了具体的算法过程，并用有限差分法对正方形区域的简化Signorini问题进行了数值计算。 对于一类带自由边界的渗流问题，本文提出了基于线性互补问题的投影迭代算法。由于描述渗流问题的微分不等式方程定义在区域内部，适合于采用区域型数值方法求解。本文是在对微分算子使用有限差分算子离散化得到一个有限维线性互补问题的基础上，再将线性互补问题转化为一个等价的不动点方程，提出了线性互补投影迭代算法。本文利用正定性及投影性质证明了算法的收敛性。这些算法同样具有计算简便和收敛速度快的优点。 最后，本文使用一些数值算例来验证了所提出的各种算法的可靠性和有效性，并对这些方法的数值结果进行了比较。