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谱元方法求解不可压缩流体流动及流动线性稳定性分析

梅欢  
【摘要】:本文的主要内容是利用谱元法数值模拟流体力学中的相关问题。总体思路如下:首先开展对谱元法基本算法的研究,分别建立了直角坐标系和极坐标系下的谱元法,并通过一些具有解析解的数值算例验证方法的精度和程序的有效性;其次结合时间分裂法,求解不同坐标系下的非定常不可压缩流动,在求解精度上与其它数值方法进行了比较;最后对方腔顶盖驱动流进行了线性稳定性分析,方腔采用有限长模型,研究展向(z方向)长度变化对流动失稳的影响,通过能量分析,探索流动失稳的物理机制。 针对上述研究思路,本文具体开展了如下工作,并完成了相应的程序开发:(1)推导了直角坐标系下的Chebyshev和Legendre谱元方法,并提出了极坐标系下的求解Poisson-型方程Legendre谱元方法和Fourier-Legendre谱元方法。在极坐标系下的谱元方法中,在单元径向上,变量采用Legendre多项式展开,极点所在单元的径向采用Gauss-Radau积分点,其它单元的径向采用Gauss-Lobatto积分点;在单元周向上,变量分别采用Legendre多项式和Fourier多项式展开。最后求解了多个具有解析解的Dirichlet或Neumann边界条件下的Poisson-型方程(Helmholtz方程和Poisson方程),用于验证本文方法的精度和有效性。(2)结合谱元方法和时间分裂法,求解了一系列非定常不可压缩流体流动,其中时间分裂法离散了Navier-Stokes方程中的时间项,从而得到相应的Poisson-型方程,进而通过谱元法进行求解。在直角坐标系下,分别求解了方腔顶盖驱动流、自然对流和表面张力流等流动,计算结果与文献基准解或有限体积法数值结果进行了对比,从而验证方法的精度和可行性。在极坐标系下,利用Fourier-Legendre谱元方法,以圆盘驱动流作为算例,研究加速坩埚旋转技术(ACRT)对于流体浓度均匀化的影响;首先,采用数值同位素模型,分别研究加速坩埚旋转和匀速坩埚旋转对于同位素流体浓度均匀化的作用,其中同位素流体的浓度变化仅由对流决定,以浓度的标准差判断均匀化程度,最后比较了谱元法和有限差分法的数值精度,对比了两种方法下的数值扩散的大小;其次,研究高温溶液晶体生长中加速坩埚旋转技术对于流体浓度均匀化的作用,流体浓度的变化由对流和扩散决定,本文选择了六种典型的加速坩埚旋转模式,并对每种旋转模式分别施加了不同的旋转时间周期,通过对浓度的标准差曲线变化找出最优的加速坩埚旋转模式和旋转时间周期,并以此指导实验。(3)结合谱元法和线性稳定性分析理论,分别研究方腔(即x-y平面)施加无滑移边界条件和滑移边界条件的有限长模型的顶盖驱动流失稳特性;其基本思想是在二维基态解上施加三维小扰动,去掉扰动的高阶非线性部分,将小扰动写成正则模形式,从而得到扰动的控制方程组,通过谱元离散方程组,并将方程组表达成积分弱形式,最后可以得到相应的广义特征值问题,利用Arpack程序包求解此特征值问题,对于不同的Re数(Reynold数)和波数,根据特征值的实部大小来寻找流动失稳的临界值;对临界流动进行扰动能量分析,探索不同展向长度下的流动失稳物理机制。 通过对不同问题的计算和相应数值结果进行分析,结果表明: ①本文的谱元方法能够以较少节点获得高精度数值解;在极坐标系下的谱元方法中,极点所在单元的径向采用Gauss-Radau积分点,能够成功地避免r=0处的1/r坐标奇异性;另外,本文谱元法可以通过区域分解技术避免极点附近节点的聚集,从而使得其在求解利用显示时间格式离散的非定常问题时,减轻对时间步长的限制。 ②利用谱元法和时间分裂法,成功地求解直角坐标系下的不可压缩流体流动;首先通过求解具有解析解的二维非定常Burgers方程,验证了本文方法的可行性和高精度性;其次将方腔顶盖驱动流、自然对流和表面张力流的数值结果同文献基准解或有限体积法数值结果进行对比,发现各种结果之间吻合得都非常好,从而说明本文方法能够正确地用于流体流动的求解,并为后续谱元法在极坐标系下的流动求解和流动的稳定性分析打下基础。 ③基于Fourier-Legendre谱元方法和有限差分法的数值结果比较表明:一阶迎风差分格式存在严重的数值假扩散现象,数值误差很大,增加节点数能稍微地改善结果;二阶迎风差分格式的数值扩散较严重,存在较大的误差,增加节点数时可以有效地改善数值结果;谱元方法求解的数值结果显示,谱元法存在极小的数值扩散,在匀速旋转时数值解几乎与理论解一致,在加速旋转时,标准差做非常均匀的周期性变化,不随时间变化发生幅值的偏移,与数学模型的物理意义十分吻合,说明谱元法是一种以较少节点获得高精度解的数值方法,具有很好的稳定性和收敛性。 ④利用Fourier-Legendre谱元方法深入地研究了晶体生长中加速坩埚旋转技术对于浓度均匀化的作用,数值结果显示:浓度均匀化最优的加速坩埚旋转模式是具有双向旋转的对称梯形模式,最优的无量纲时间周期为T=0.1;在本模型中溶液的完全混合是由扩散和对流共同决定的,而对流是从时间尺度上加快了溶液总体混合的过程,即改变了局部浓度梯度,从而加速扩散。 ⑤通过对方腔x-y平面上的边界施加无滑移边界条件的有限长模型的顶盖驱动流失稳特性分析发现:首先,对于立方体方腔流动,失稳的临界Re数和波数为818.41和3,流动的失稳属于静态失稳,失稳后的流动在壁面附近比方腔中心要明显得多,通过能量分析发现最危险的区域位于上流线固壁附近,这与展向施加周期性边界条件的无限长模型的数值是一致的,流动的失稳机制为与静态TGL(Taylor-Goertler-like)模式相关的离心失稳。其次研究了Λ为整数的几个算例,根据结果提出了两个判断不同Λ下流动失稳临界参数的预测,以Λ为小数且1Λ2的算例数值结果验证了上述预测的正确性;本文结果同直接数值模拟的数值结果进行了对比,两种思路得到的临界波数吻合得很好,仅Λ=1.8时存在不符,可能是数值方法的精度导致了这个差异,另外,不同Λ下的流动失稳均为静态失稳,且改变Λ并不改变流动失稳的物理机制。最后,当Λ=2π时,扰动的控制方程同基于无限长模型的扰动方程在形式上是一样的,而本文Λ=2π时的有限长模型失稳临界值同无限长模型的数值结果也符合地很好,且当波数k≤11流动为振荡失稳,即Hopf分叉,而当波数k11时流动为静态失稳,与文献结果十分一致;进一步验证了本文有限长模型的线性稳定性分析结果的正确性,能够用于解释流动的失稳机制。 ⑥通过对方腔x-y平面上的边界施加滑移边界条件的有限长模型的顶盖驱动流失稳特性分析发现:首先,立方体方腔流动的失稳临界Re为337.02,不到无滑移边界下的有限长模型和无限长模型临界Re的一半,说明了无滑移边界条件能够起到稳定流体流动的作用;流动的失稳属于静态失稳;通过直接数值模拟验证了临界波数k=2的正确性;基于能量分析发现,正的总能传递速率在方腔壁面附近达到顶峰,导致了流动的失稳,这是流动失稳的物理机制。由于角涡的消失,即缺失了形成TGL涡的主涡与下流线角涡之间的分界面,因此本模型下的流动失稳与无滑移边界下的有限长模型失稳是不同的。其次,展向长度的变化对于临界雷诺数的影响较小,且不同Λ下流动失稳均属于静态失稳;同样,由于施加了滑移边界条件,流动相对于无滑移边界下的流动更加地不稳定,因此,进一步说明无滑移边界条件能够稳定流体流动。


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