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亚纯函数唯一性及相关正规族问题的研究

吴春  
【摘要】:二十世纪二十年代初,Nevanlinna引进了亚纯函数特征函数的概念并以此建立了Nevanlinna理论,即复平面上的亚纯函数的值分布理论.该理论包含了两个基本定理,即第一基本定理和第二基本定理.这两个定理的产生不但改进了对经典函数论的研究,而且对现代亚纯函数理论的研究打下了牢固的基础,并对其他数学分支发展做出了重要的贡献.通过Nevanlinna理论自身的不断完善和发展,该理论在复分析中的其他领域也有着十分广泛的应用,比如,亚纯函数的复动力系统,复微分方程,正规族理论以及唯一性理论等等.本文结合近几年来值分布理论的研究热点,对亚纯函数的唯一性与正规族理论所涉及的几个方面的内容进行研究.全文分为两个部分. 第一部分是关于亚纯函数分担值的唯一性问题.函数唯一性理论主要研究在什么情况下只存在一个满足所给的条件的函数.除一个常因子外,多项式可由其零点集完全确定,但对超越整函数以及亚纯函数就不然.如何唯一确定一个亚纯函数的讨论也就显得十分有必要.亚纯函数族的唯一性主要研究具有共同性质的一类亚纯函数在什么情况下能被唯一确定.而对亚纯函数分担有限复值,一直是唯一性理论研究的一个热点,方明亮等人在假设所给亚纯函数的微分多项式比较特殊且在他们具有相同零点以及相同零点的重数必须相同等一系列苛刻条件下得出了两个所给亚纯函数所必须满足的关系式.本论文针对这些结果,考虑将具有局限性的特殊亚纯函数的微分多项式推广到一般的亚纯函数的微分多项式,并且将零点相同以及相同零点的重数必须相同等条件减弱,即将分担条件减弱,利用权分担以及截断的思想,成功获得了相应的结果.我们的结果是对方明亮等人结果的推广.另一方面,我们充分利用已有的亚纯函数值分布理论以及在差分算子基础上建立起来的Nevanlinna理论对全纯函数差分的唯一性也进行了研究. 第二部分我们研究了亚纯函数的正规族.寻找新的正规定则是一个重要的课题.在正规族研究中一个自然的想法是能不能从唯一性定理(公共值定理)出发寻求正规定则,Schwick率先将分担值与正规族的研究结合起来,成功获得亚纯函数族的正规性.之后,大量数学工作者在此基础上得到了许多优秀的结果.这些结果涉及函数取复值的居多,我们的主要工作是把已有的正规定则的条件中对函数取复数值的问题,推广至函数取全纯函数的情况.其中主要困难在于当复数换成全纯函数时,对全纯函数零点的处理问题.我们综合运用了正规族理论中已有的各种方法,最终克服了在零点处的困难,成功地获得了几个关于亚纯函数的正规定则.


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