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几类特殊矩阵的特征量估计与定位分析

韦瑩丽  
【摘要】:矩阵理论是线性代数中的重要内容,矩阵特征值的估计又是矩阵论的主要研究点。从理论上来讲,对于任一给定的复方阵,其所有的特征量都是确定的常数,例如矩阵的谱,谱半径,展形,迹,行列式,条件数等。但是,人们很难对高阶矩阵或系统进行特征量的计算,而且,在许多情况下,没有必要计算出特征量的精确值,只需要知道它的范围即可。例如在某些条件下,如果能确定一个给定复矩阵的特征值位于某个具体的区域(圆盘,椭圆或矩形区域),就可以得到矩阵展形的上界是这个区域的直径(圆盘的直径,椭圆的长轴或矩形的对角线)。矩阵展形是本文最主要的研究内容,由于其可以用于刻画特征值分布的稠密性,所以它是一个重要且独特的代数特征量。在本文中,我们的目的是讨论矩阵的特征值的估计与定位及矩阵展形的上下界。我们也将讨论一些特殊矩阵的特征值与展形。本文的研究内容主要包括:1.利用循环矩阵的特点,得出每个循环矩阵的特征值位于下面一个圆盘中:且其特征值也都位于下面的集合中:2.将文献[4]及文献[9]中的结果用于实对称矩阵,得出了两个更加精确的实对称矩阵展形的下界。3.借助于一般矩阵展形上界的研究结果,并结合Toeplitz矩阵、Hankel矩阵与循环矩阵的特点,给出了这三类特殊矩阵展形的上界。矩阵代数研究领域的一个重要的方面是矩阵特征值,其对矩阵基本理论的研究有着非常重要的作用。


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