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N—体问题的中心构型及周期解

朱长荣  
【摘要】: N- 体问题实际上是一个常微分方程组,它描绘了N个天体的运动规律。具体地说,N- 体问题是研究在牛顿运动定律及万有引力作用下,每个天体只有相互的作用力,而不受别的外力时的运动状态。毫无疑问,牛顿定律非常近似地描述了太阳系行星的运动规律。在N-体问题研究中,中心构型是研究它的一个重要内容。由中心构型可以产生周期解,中心构型也与天体同时碰撞或逃逸紧密相关。经典的结果有:对任意质量的3个天体m_1,m_2,m_3,仅存在共线的或等边三角形的中心构型;对任意质量的4个天体m_1,m_2,m_3,m_4,非平面的中心构型只有正四面体。在1985年,L.M.Perko和E.L.Walter证明了这样的结论:把n个天体m_1,m_n,放在正n边形的n个顶点上,它们构成中心构型的充要条件是m_1=m_2=m_3。在1995年,R.Moechel和C.Simo发现了:在中,由两层大小可以不等,方向相同的正多边形构成中心构型的充要条件。本文作者与导师合作发现了几种中心构型的存在性,唯一性或者存在的充要条件。定理1说明了具有扭转角,由两层大小相等的正n边形构成的中心构型是存在的;定理2说明了由正四面体套构成中心构型充要条件是,内外两层质量分别全相等且内外两层质量比和两个正四面体大小比满足一个特别的关系式;定理3说明了由正六面体 与正八面体套构成中心构型的充要条件是,内外两层质量分别全相等且内外两层质量比和两个正多面体大小比满足一个特别的关系式;定理4否定了一种特殊的周期解的存在性。


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